Distancia entre recta y plano en el espacio

Fijémonos en las posiciones relativas entre una recta y un plano para calcular la distancia entre ellos:

  • Si la recta esta incluida en el plano o si la recta y el planos son secantes, la distancia entre ambos es cero, $$\text{d}(r,\pi)= 0$$
  • Si la recta y el plano son paralelos, la distancia entre ambos se calcula tomando un punto $$P$$ de la recta y calculando la distancia de $$P$$ al plano. $$$\text{d}(r,\pi)=\text{d}(P,\pi) \quad \text{ donde } P\in r$$$

Encontrad la distancia entre la recta $$r:x-2=y=z+1$$ y el plano $$\pi:x+y-2z+3=0$$.

Comprobamos que el plano y la recta son paralelos mediante el producto escalar entre el vector director $$\vec{v}$$ de la recta y el vector normal al plano $$\vec{n}$$. Si recta y plano son paralelos dicho producto escalar será nulo: $$$\vec{v}\cdot\vec{n}=(1,1,1)\cdot(1,1,-2)=1+1-2=0$$$

Efectivamente son paralelos así que buscamos un punto de la recta, $$Q=(2,0,-1)$$, y aplicamos la fórmula: $$$\text{d}(r,\pi)=\text{d}(P,\pi)=\dfrac{|1\cdot2+1\cdot0-2\cdot(-1)+3|} {\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}}=\dfrac{7}{\sqrt{6}}$$$