Ejercicios de Distancia entre dos rectas en el espacio

Calcula la distancia entre las dos rectas:

$$r:(x,y,z)=(2,1,3)+k\cdot(2,1,-1)$$

$$r':(x,y,z)=(-1,-1,4)+k\cdot(1,3,-2)$$

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Desarrollo:

Empezamos determinando la posición relativa de las rectas.

Primero comprobamos que los vectores directores no sean linealmente dependientes: $$$\left. \begin{array}{l} \vec{v}=(2,-1,1) \\ \vec{v}'=(1,3,-2) \end{array} \right\} \Rightarrow \dfrac{2}{1}\neq\dfrac{-1}{3}\neq\dfrac{1}{-2}$$$

Las rectas $$r$$ y $$r'$$ se cortan o se cruzan.

Cogemos un punto $$A$$ de $$r$$ y un punto $$A'$$ de $$r'$$, y vemos si $$\{\overrightarrow{AA'},\vec{v},\vec{v}'\}$$ son linealmente dependientes o independientes: $$$\left. \begin{array}{l} A = (2, 1, 3)\\ A' = (-1, -1, 4) \end{array} \right\} \Rightarrow \overrightarrow{AA'}=(-3,-2,1)$$$

$$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} =0 \Rightarrow \text{rango}\big(\{\overrightarrow{AA'},\vec{v},\vec{v}'\}\big)=0$$$

Por tanto las rectas $$r$$ y $$r'$$ se cortan y $$\text{d}(r,r') = 0$$.

Solución:

$$\text{d}(r,r') = 0$$

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