Dada la siguiente función definida a trozos:
$$ f(x)=\Bigg\lbrace \begin{eqnarray} x+2 & \mbox{si} & x\leq 0 \\\\ 2 & \mbox{si} & 0 < x \leq 2 \\\\ -x+4 & \mbox{si} & x>2 \end{eqnarray}$$
Haz la representación gráfica y encuentra el dominio y el recorrido de la función.
Desarrollo:
Una forma de proceder es dibujar la gráfica de la función y a partir de ella encontrar el dominio y la imagen.
Para ello observamos que:
-
En el intervalo $$(-\infty, 0]$$ tenemos una recta de pendiente $$m = 1$$ y que corta el eje $$x$$ en $$x = -2$$.
-
En el intervalo $$(0, 2]$$, tenemos una función constante $$y = 2$$.
- En el intervalo $$(2, +\infty)$$ tenemos una recta de pendiente $$m = -1$$ y que corta el eje $$x$$ en $$x = 4$$.
Por tanto la gráfica de la función queda:
De esta forma está claro que el dominio de la función es:
$$Dom (f) = (-\infty, +\infty)$$
y que su imagen es:
$$Im (f) = (-\infty, 2]$$
Solución:
$$Dom (f) = (-\infty, +\infty)$$
$$Im (f) = (-\infty, 2]$$