Las combinaciones con repetición de $$n$$ elementos tomados de $$k$$ en $$k$$ son los diferentes grupos de $$k$$ elementos que se pueden formar a partir de estos $$n$$ elementos, permitiendo que los elementos se repitan, y considerando que dos grupos se diferencian solamente si tienen elementos diferentes (es decir, no importa el orden). Se representan por $$CR_{n,k}$$ .
Consideramos el conjunto $$A=\{a,b,c,d,e \}$$, se tiene que las diferentes combinaciones con repetición de estos $$5$$ elementos son:
- Combinaciones con repetición de $$5$$ elementos tomados de $$1$$ en $$1$$: $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ y $$e$$.
- Combinaciones con repetición de $$5$$ elementos tomados de $$2$$ en $$2$$: Como antes, se tienen $$ad$$, $$ab$$, $$ac$$, $$ae$$, $$bc$$, $$bd$$, $$be$$, $$cd$$, $$ce$$ y $$de$$, pero ahora también se tienen los grupos con elementos repetidos: $$aa$$, $$bb$$, $$cc$$, $$dd$$ y $$ee$$.
- Combinaciones con repetición de $$5$$ elementos tomados de $$3$$ en $$3$$: como antes, tenemos $$abe$$, $$abc$$, $$abd$$, $$acd$$, $$ace$$, $$ade$$, $$bcd$$, $$bce$$, $$bde$$ y $$cde$$, pero ahora también se tienen los grupos con elementos repetidos: $$aab$$, $$aac$$, $$aad$$, $$aae$$, $$bba$$, $$bbc$$, $$bbd$$, $$bbe$$, $$cca$$, $$ccb$$, $$ccd$$, $$cce$$, $$dda$$, $$ddb$$, $$ddc$$ y $$dde$$.
- Combinaciones con repetición de $$5$$ elementos tomados de $$4$$ en $$4$$: como antes, se tienen $$abcd$$, $$abce$$, $$abde$$, $$acde$$ y $$bcde$$, pero ahora también se tienen los grupos con elementos repetidos: $$aaab$$, $$aaac$$, $$aaad$$, $$aaae$$, $$aabc$$, $$aabd$$, $$aabe$$, $$aacd$$, $$aade$$, $$bbba$$, $$bbbc$$, etc...
- Combinaciones con repetición de $$5$$ elementos tomados de $$5$$ en $$5$$: A parte del que ya teníamos antes (que era $$abcde$$) ahora también se tienen los grupos con elementos repetidos: $$aaaaa$$, $$aaaab$$, $$aaaac$$, $$aaaad$$, $$aaaae$$, $$aaabc$$, $$aaabd$$, $$aaabe$$, $$aaacd$$, $$aaace$$, $$aaade$$, etc...
Como se puede ver en este ejemplo, ahora hay muchos más grupos posibles que antes. La siguiente fórmula nos dice cuántas combinaciones con repetición de $$n$$ tomados de $$k$$ en $$k$$ hay:
$$$\displaystyle CR_{n,k}=\binom{n+k-1}{k}=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!k!}$$$
En el ejemplo anterior,
Se quiere saber cuantas combinaciones con repetición de $$5$$ elementos tomados de $$3$$ en $$3$$ hay, usando la fórmula se obtiene que son 35:
$$$\displaystyle CR_{5,3}=\binom{5+3-1}{3}=\frac{(5+3-1)!}{(5-1)!3!}=\frac{7!}{4!3!}=7 \cdot 5 = 35$$$