Vamos a introducir el cálculo del área en una región del plano. Si llamamos a la región del plano $$D$$, entonces:
$$$\text{Área}(D)=\int_D 1 \ dx \ dy$$$
Se trata pues de una integral doble. Por lo tanto, lo único que tenemos que hacer es conseguir parametrizar la región $$D$$ para poder integrarla. Tal y como pasa en cálculo de integrales, a veces nos resulta más cómodo hacer un cambio de variables, el más típico, a polares, para poder calcular el área. En tal caso, recordemos que tenemos que multiplicar la función que integramos por el determinante de la matriz jacobiana del cambio que estamos utilizando.
Vamos a calcular ahora el área de un círculo de radio $$R$$. Supondremos que está centrada en el origen, de forma que viene dada por la ecuación: $$x^2+y^2\leqslant R^2$$.
Esta región se puede parametrizar utilizando coordenadas polares: $$$ \left\{ \begin{array}{l} x=r\cos(\theta) \\ y=r \sin(\theta) \end{array} \right. \quad \text{ con } \quad r\in[0,R] \ \text{ y } \ \theta\in[0,2\pi]$$$
Debemos recordar que hacer un cambio de variables supone que debemos multiplicar la función a integrar por el determinante de la matriz Jacobiana del cambio, en este caso por $$r$$. Así:
$$$\int_0^R \int_0^{2\pi} 1\cdot r \ d\theta \ dr$$$