Inecuaciones con dos variables

Una vez ya sabemos tratar inecuaciones de primer grado con una variable (la llamamos $$x$$), introduciremos una segunda variable que la llamaremos $$y$$. Por lo tanto, ahora tenemos expresiones algebraicas formadas por números, $$x$$, $$y$$ y un símbolo de desigualdad.

$$$ x+y < 1$$$

Resolviendo una inecuación de una variable, decíamos que la habíamos resuelto cuando llegábamos a un resultado del tipo $$x < a$$. Como era de esperar, ahora ya no podremos hacer lo mismo puesto que tenemos dos variables.

Entonces, ¿Cómo se da el resultado? ¿Qué significa resolver una inecuación de dos variables? Estas preguntas las resolveremos a continuación.

Empecemos pues con un ejemplo y después ya daremos una indicación general sobre como se resuelven estas inecuaciones.

Si nos fijamos, la expresión $$ x+y < 1$$ es muy parecida a $$ x+y = 1$$, y ésta última no es nada más que una recta que se puede representar en el plano, ya que $$ x+y = 1 \Rightarrow y=-x+1$$. Esto significa que los puntos que cumplen la igualdad $$x+y = 1$$ son justamente los puntos de la recta.

Entonces, podemos decir directamente que los puntos de la recta no cumplen la desigualdad dada por la inecuación $$ x+y < 1$$, ya que éstos hacen que $$x + y$$ sume el valor de uno $$1$$ y nosotros estamos exigiendo que $$x + y$$ sea inferior a $$1$$.

Aun así, podemos describir nuestra inecuación como: $$ x+y < 1 \Rightarrow y < -x+1$$ y la recta anterior justamente nos divide el plano en dos partes, una por encima de la recta y una por debajo. Justamente, como nuestra inecuación es $$y < -x+1$$, los puntos que cumplen la inecuación son exactamente los que se encuentran por debajo la recta.

Algoritmo de resolución:

Fijémonos como hemos resuelto esta inecuación de dos variables (el ejemplo anterior):

  • Hemos separado las variables, una a cada lado de la inecuación, normalmente dejando la $$y$$ sola en un lado y la $$x$$ en el otro juntamente con los coeficientes libres, dejándola de la forma $$y < ax+b$$ o $$y > ax+b$$.

  • Hemos dibujado la recta inducida por la inecuación (la recta $$y = ax+b$$).

  • Hemos escogido una zona del plano: la que está por encima del plano o por debajo en función de nuestra inecuación. Esta elección la hemos hecho de la siguiente manera:

    • Si $$y < ax+b$$, entonces decimos que es la zona inferior de la recta.
    • Si $$y > ax+b$$, entonces decimos que es la zona superior de la recta.
  • Esta zona del plano justamente es la que es solución de nuestra inecuación.

Tenemos que tener en cuenta que puede ser que nuestra inecuación tenga una desigualdad del tipo $$ < $$, $$ > $$ $$\leqslant$$ o $$\geqslant$$. En los dos primeros casos, la zona del plano que escogemos no contiene los puntos de la recta, mientras que los dos últimos casos, cuando tenemos "menor o igual que" o "mayor o igual que", sí estamos tomando los puntos de la recta, además de la zona superior o inferior del plano, como solución de nuestra inecuación.

Entonces, ¿dar una solución de una inecuación es dar una región del plano? Cierto, pero pensad que es equivalente dar esta región del plano que dar la inecuación donde la $$y$$ está en un lado y la $$x$$ y los coeficientes libres en el otro. Así que podemos decir que solucionar una inecuación es dar una expresión del tipo $$y < ax+b$$ o $$y > ax+b$$ y decir que los puntos que tomamos están por debajo o por encima de la recta $$y = ax+b$$ y si tomamos también o no los de la recta.

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