Introducción y propiedades de las inecuaciones

Una inecuación es una expresión del tipo: $$$ 2x+3 > 4 $$$

donde la letra $$x$$ simboliza una cantidad a determinar y toda la expresión se podría leer como: "Buscamos una cantidad tal que si la multiplicamos por dos y le sumamos tres, el resultado es mayor que cuatro".

En las inecuaciones, aparte de los números y las incógnitas (las $$x$$), podemos encontrar los siguientes símbolos:

  • $$= \; \rightarrow$$ Igual.
  • $$> \; \rightarrow$$ Mayor que.
  • $$< \; \rightarrow$$ Menor que.
  • $$\geqslant \; \rightarrow$$ Mayor o igual que.
  • $$\leqslant \; \rightarrow$$ Menor o igual que.

Con estos símbolos podemos denotar las inecuaciones y también las desigualdades.

Por consiguiente:

  • Una desigualdad es una expresión algebraica en la que se hace la comparación de dos o más valores numéricos.

  • Una inecuación es una expresión algebraica en la que se hace la comparación de dos valores, donde podemos encontrar una variable (la llamaremos $$x$$) y se pretende que ésta sea resuelta y así poder encontrar los valores posibles de $$x$$ tal que cumpla la inecuación.

En consecuencia, podemos elaborar expresiones del tipo:

(1) $$2=2$$

(2) $$3>0>-1$$

(3) $$-2< 5$$

(4) $$4\geqslant 4$$

(5) $$x-1\leqslant 1 $$

donde las podemos transcribir como:

(1) dos es igual a dos.

(2) tres es mayor que cero que a su vez es mayor que menos uno.

(3) menos 2 es menor que cinco.

(4) cuatro es mayor o igual que cuatro.

(5) $$x$$ menos uno es menor o igual que uno.

En este caso (1), (2), (3) y (4) son desigualdades y (5) es una inecuación.

Fijémonos en que las expresiones (1), (2), (3) y (4) son ciertas (la expresión (5) no es cierta ni falsa, se tiene que determinar para qué valores de $$x$$ la expresión és cierta).

Un ejemplo de expresión falsa sería: $$$ -3> 2 $$$ puesto que menos tres no es mayor que dos, sino que menos tres es menor que dos.

Propiedades básicas

A continuación vamos a observar algunas de las propiedades de las desigualdades (y de las inecuaciones). Vamos a ver dos propiedades básicas que cumplen las desigualdades y por consiguiente las inecuaciones.

Para este propósito denotaremos las letras $$A$$, $$B$$ y $$C$$ como tres números cualesquiera.

  • Propiedad 1: Los números $$A$$ y $$B$$ siempre cumplen una de las siguientes afirmaciones:
    • $$ A < B $$
    • $$A=B$$
    • $$A > B$$

Los números $$A = 4$$ y $$B = 8$$ cumplen la primera afirmación.

Los números $$A = 1$$ y $$B = 1$$ cumplen la segunda afirmación.

Los números $$A = 24$$ y $$B =- 13$$ cumplen la tercera afirmación.

  • Propiedad 2: Esta propiedad se refiere a la simetría de las inecuaciones o desigualdades:
    • Si $$ A < B \Rightarrow B > A$$
    • Si $$ A > B \Rightarrow B < A$$

(Nota: el símbolo $$\Rightarrow$$ simboliza "entonces". Por ejemplo, $$A < B \Rightarrow B > A$$, diremos que si $$A$$ es menor que $$B$$ entonces $$B$$ es mayor que $$A$$).

Tomando $$A = 3$$ y $$B = 4$$ está claro que $$ A < B $$ y que a su vez $$B>A$$.

Tomando $$A = 7$$ y $$B = 6$$ está claro que $$ A > B$$ y que a su vez $$B < A $$.

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