Inecuaciones de primer grado

Una inecuación es una expresión algebraica formada por números, una variable que llamaremos $$x$$ y un símbolo de desigualdad.

Ejemplos de inecuaciones serian:

  1. $$x < 2$$

  2. $$4x+2\geqslant -1$$

  3. $$-x > -3+2x$$

Diríamos en estos casos que la inecuación 1 ya estaría resuelta, pues si $$x$$ toma valores menores que $$2$$ siempre se cumplirá la desigualdad, y que las inecuaciones 2 y 3 se deberían resolver, es decir, encontrar para que valores de $$x$$ se cumplen las inecuaciones respectivas.

Solución de una inecuación

Dada una inecuación, consideraremos que la hemos resuelto cuando encontremos una expresión del tipo $$x < a$$, $$x > a$$, $$x\leqslant a$$ o $$x\geqslant a$$, donde $$a$$ simboliza un número. Al encontrar esta expresión ya podremos decir que para que la inecuación sea cierta, $$x$$ deberá cumplir la condición encontrada y consideraremos que hemos resuelto la inecuación.

A continuación podemos ver ejemplos de soluciones de inecuaciones: $$$x < 2, \ x > 3, \ x\leqslant -1, \ x\geqslant 6$$$

También serian ejemplos de soluciones: $$$2 < x, \ -1\geqslant x$$$

ya que por la propiedad de simetría de las desigualdades, son equivalentes a $$$x > 2, \ x\leqslant -1$$$

Resolución de inecuaciones

De la misma manera se aprende a resolver ecuaciones de primer grado, vamos a aprender ahora a resolver inecuaciones de primer grado.

El método para resolver estas inecuaciones es el mismo que para resolver ecuaciones, aun que hay pequeñas variaciones.

Para empezar, veamos la analogía que hay entre resolver una ecuación de primer grado y una inecuación de primer grado:

Tomaremos la ecuación $$2(x-5)=2$$ y la inecuación $$2(x-5)\geqslant 2$$.

Resolvamos la ecuación: $$$ 2(x-5)=2 \Rightarrow 2x-10=2 \Rightarrow 2x=2+10 \Rightarrow 2x=12 \Rightarrow x=\dfrac{12}{2} \Rightarrow x=6 $$$

y decimos que la solución es $$x=6$$.

Por otra parte, resolvamos la inecuación: $$$ 2(x-5)\geqslant2 \Rightarrow 2x-10\geqslant2 \Rightarrow 2x\geqslant2+10 \Rightarrow 2x\geqslant12 \Rightarrow x\geqslant\dfrac{12}{2} \Rightarrow x\geqslant6 $$$

y decimos que la solución es $$x\geqslant6 $$, es decir, $$x$$ puede tomar cualquier valor que sea mayor o igual a seis.

Fijémonos que el método de resolución ha sido el mismo para los dos problemas, entonces, ¿dónde se diferencia el proceso de resolución de una inecuación y una ecuación?

Para responder a esta pregunta veamos como se comportan las desigualdades respecto a la adicción (sumar) y sustracción (restar) y a la multiplicación y división por un número.

Addicción y Sustracción

Supongamos que $$A$$, $$B$$ y $$C$$ son tres números cualesquiera, entonces:

si $$A < B \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A+C < B+C \\ A-C < B-C \end{array} \right. $$

si $$A > B \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A+C > B+C \\ A-C > B-C \end{array} \right. $$

Como vemos, podemos sumar o restar un mismo valor a cada lado de la desigualdad sin tener problemas con el símbolo de la desigualdad.

Esta propiedad ya nos era conocida en el tema de las ecuaciones, puesto que podíamos sumar o restar un mismo valor a cada lado de la igualdad.

Lo que nos permite esta propiedad es sumar y restar un mismo valor a cada lado de una desigualdad de una inecuación, pudiendo así aislar la variable $$x$$ en un lado de la inecuación.

Dada la inecuación $$x+3 < 4$$, vamos a resolverla: $$$ x+3 < 4 \Rightarrow x+3-3 < 4-3 \Rightarrow x < 4-3 \Rightarrow x < 1 $$$

Multiplicación y división

Al multiplicar y dividir por un valor una inecuación puede que provoque un cambio de símbolo en la desigualdad: de menor que a mayor que o al revés (igual con menor o igual que y al revés).

Supongamos pues que $$A$$, $$B$$ y $$C$$ son tres números cualesquiera, entonces:

  • Si $$C$$ es positivo y $$A < B$$ entonces $$A\cdot C < B\cdot C \ $$ y $$ \ \dfrac{A}{C} < \dfrac{B}{C}$$ (la desigualdad no cambia).

  • Si $$C$$ es positivo y $$A > B$$ entonces $$A\cdot C > B\cdot C \ $$ y $$ \ \dfrac{A}{C} > \dfrac{B}{C}$$ (la desigualdad no cambia).

  • Si $$C$$ es negativo y $$A < B$$ entonces $$A\cdot C > B\cdot C \ $$ y $$ \ \dfrac{A}{C} > \dfrac{B}{C}$$ (la desigualdad cambia de orden).

  • Si $$C$$ es negativo y $$A > B$$ entonces $$A\cdot C < B\cdot C \ $$ y $$ \ \dfrac{A}{C} < \dfrac{B}{C}$$ (la desigualdad cambia de orden).

El por qué hay un cambio en el orden de la desigualdad si multiplicamos y dividimos por un número negativo lo veremos claramente en un ejemplo:

Tomemos $$A = 2$$ y $$B = 3$$ (tenemos $$A < B$$ porqué $$2 < 3$$), entonces, multiplicamos por $$(-1)$$ y obtenemos: $$$\left. \begin{array}{l} 2\cdot (-1)=-2 \\ 3\cdot (-1) =-3 \end{array} \right\} \Rightarrow -2<-3 \ \text{ FALSO, } \ -2 > -3 \ \text{ CIERTO}$$$

y vemos que hemos tenido que cambiar el orden de la desigualdad para que la expresión continue siendo cierta.

Esta propiedad nos permitirá multiplicar y dividir por un mismo valor a los dos lados de una inecuación (muy parecido a como lo hacíamos con las ecuaciones), y así podremos aislar nuestra variable $$x$$ sin problemas en uno de los lados de la inecuación.

Dada la inecuación $$3x < 6$$, vamos a resolverla: $$$ 3x < 6 \Rightarrow \dfrac{3x}{3} < \dfrac{6}{3} \Rightarrow x < \dfrac{6}{3} \Rightarrow x < 2$$$

Dada la inecuación $$-2x < 4$$, vamos a resolverla: $$$ -2x < 4 \Rightarrow \dfrac{-2x}{-2} > \dfrac{4}{-2} \Rightarrow x > \dfrac{4}{-2} \Rightarrow x > -2$$$

Ahora que ya sabemos como sumar y restar, multiplicar y dividir a los dos lados de una inecuación por un valor concreto, ya somos capaces de resolver cualquier inecuación de primer grado.

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