Ecuaciones lineales a coeficientes constantes de orden n

Dificultad: 10

Buscaremos soluciones de un sistema lineal a coeficientes constantes de orden $$n$$ no homogéneo. Aún así, tendremos que añadir una restricción en el método que presentaremos.

Si nuestra EDO es: $$$a_n \cdot y^{(n)}(x)+a_{n-1} \cdot y^{(n-1)}(x)+ \ldots + a_1 \cdot y'(x) +a_0 \cdot y(x)= f(x)$$$ (lineal a coeficientes constantes) tenemos que pedir que la función $$f(x)$$ sea un polinomio, una exponencial, seno o coseno o cualquier combinación de éstas.

Es decir, ahora estaremos preparados para resolver por ejemplo: $$$y''+y=3 \cos x+e^2x$$$

Por el mismo motivo que en sistemas lineales, una solución general de esta ecuación es una suma de la solución general de la parte homogénea y una solución particular de la no homogénea.

Vamos a resolver la EDO por el método del polinomio anulador o de coeficientes indeterminados.

Supongamos que tenemos la EDO escrita anteriormente y $$f(x)$$ una función que cumpla las condiciones que hemos pedido. Entonces:

  • Resolvemos la parte homogénea. De forma que obtenemos $$n$$ soluciones linealmente independientes.

En el ejemplo que hemos dado, la soluciones son:$$$y_1(x)=\cos x \\ y_2(x)=\sin x$$$

  • Buscamos un polinomio que anule $$f(x)$$. Esta operación consiste a encontrar un polinomio que sus coeficientes multipliquen las derivadas. Es decir:$$$Q(D)=b_nD^n+b_{n-1}D^{n-1}+ \ldots+b_1D+b_0Id$$$where $$D^k$$ significa derivar $$k$$ veces la función que lo multiplica. Así,$$$Q(D)f(x)=\Big(b_nD^n+b_{n-1}D^{n-1}+ \ldots +b_1D+b_0Id\Big) f(x)=\\=b_nD^nf(x)+b_{n-1}D^{n-1}f(x)+ \ldots + b_1 D f(x)+b_0Id\cdot f(x)= \\ =b_n f^n (x)+b_{n-1}f^{n-1}(x)+ \ldots +b_1 f'(x)+b_0f(x)=0$$$Es decir, es como buscar qué EDO lineal y homogénea satisface $$f (x)$$. Para hacerlo procedemos de forma inversa (de cuando encontramos soluciones en el caso homogéneo).

En el ejemplo anterior, tenemos que encontrar un polinomio que anule $$f(x)=3 \cos x+e^{2x}$$.

Procedamos de forma inversa que cuando encontramos soluciones, es decir: $$\cos x$$ proviene de $$\lambda=ie^{2x}$$ que proviene de $$\lambda=2$$.

Por lo tanto el polinomio anulador es: $$Q(D)=\Big(D^2+ID\Big) \cdot (D \cdot 2Id)$$.

En efecto, $$$Q(D)f(x)=\Big(D^2+Id \Big) \cdot \Big(D-2Id\Big) f(x)=\Big( D^3-2D^2+D-2Id\Big)f(x)=\\ =f'''(x)-ef''(x)+f'(x)-2f(x)=\\=3 \sin x+8e^{2x}+6 \cos x- 8e^{2x}-3 \sin x+2e^{2x}-6\cos x-2e^{2x}=0$$$

  • Notemos que, introduciendo esta notación, nuestra EDO inicial se puede escribir como $$P(D)y(x)=f(x)$$ , con $$$P(D)=a_nD^n+a_{n-1}D^{n-1}+\ldots+a_1D+a_0Id$$$ Aplicando el polinomio $$Q (D)$$ a la anterior igualdad tenemos: $$$P(D)y(x)=f(x) \Longrightarrow Q(D)P(D)y(x)=Q(D)f(x)=0$$$ y por lo tanto tenemos una nueva ecuación, pero homogénea de orden $$k$$ (mayor que $$n$$). Entonces solucionamos este problema, obteniendo $$k$$ funciones, de las cuales las $$n$$ primeras son soluciones encontradas en (1).$$$y^\star (x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+\ldots+C_ny_n(x)+D_1\widetilde{y}_{n+1}(x)+ \ldots +D_k \widetilde{y}_k(x)$$$

En el ejemplo anterior, pues, tenemos $$Q(D)P(D)=(D^2+Id)(D^2+Id)(D-2Id)$$ que tiene por raíces (y por lo tanto por soluciones asociadas): $$\lambda = \pm i$$ con multiplicidad $$2$$ que da por soluciones $$\cos x, \sin x, x \cdot \cos x, x \cdot \sin x$$, $$\lambda=2 $$ que da por solución $$e^{2x}$$.

Por lo tanto tenemos que $$$y^\star (x)=C_1\cos x+C_2 \sin x+D_1 x\cdot \cos x+D_2 x \cdot \sin x+D_3 e^{2x}$$$

  • Buscamos una solución particular de la ecuación no homogénea de la forma: $$y_p(x)=D_1\widetilde{y}_{n+1}(x)+\ldots+D_k\widetilde{y}_k(x)$$ es decir, cogemos las soluciones que han aparecido en (3), que no teníamos en (1) y buscamos ciertos coeficientes para obtener la solución.

En nuestro ejemplo, debemos buscar una solución particular de la forma: $$y_p(x)=D_1\cdot \cos x$$.

Impongamos que sea solución: $$$y''_p+y_p=3 \cos x+e^{2x} \\ y''_p+y_p=-2D_1\sin x-D_1x\cos x+2D_2\cos x-D_2x\sin x+4D_3e^{2x}+D_1x \cos x+$$$ $$$+D_2 x \sin x+D_3 e^{2x}= \\ =-2D_1 \sin x +2 D_2 \cos x+ 5D_3e^{2x}$$$ Igualando coeficientes, obtenemos: $$$D_1=0 \\ D_2=\displaystyle \frac{3}{2} \\ D_3= \displaystyle \frac{1}{5}$$$ Por lo tanto, la solución particular es: $$\displaystyle y_p(x)=\frac{3}{2}x \cdot \sin x+\frac{1}{5}e^{2x}$$

  • Finalmente, tenemos que la solución general de nuestra EDO no homogénea inicial es:$$$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$$$

Para acabar con nuestro ejemplo, tenemos que la solución general es: $$$y(x)=c_1\cos x +c_2 \sin x+\displaystyle \frac{3}{2} x \cdot \sin x+\frac{1}{5}e^{2x}$$$

Ya has leído la teoría. Si quieres dominar este tema crea tu cuenta y practica con nuestros ejercicios

Crear una cuenta

Es gratis

Enlaces relacionados

Comentarios

Compartir