Ecuaciones lineales homogéneas a coeficientes constantes de orden n

Al igual que pasa con los sistemas lineales de orden $$1$$, una ODE de orden $$n$$ tiene $$n$$ soluciones linealmente independientes de manera que toda solución de una EDO homogénea será combinación lineal de estas soluciones. Por lo tanto, resolver la EDO consistirá en encontrar estas $$n$$ funciones.

Consideramos la EDO $$$a_n \cdot y^{(n)} (x)+a_{n-1} \cdot y^{(n-1)}+ \ldots +a_1 \cdot y'+ a_0 \cdot y=0$$$ donde $$a_i$$ son constantes.

Un ejemplo de EDO de orden $$n$$ homogénea sería:$$$y''+y=0$$$

Entonces definimos el polinomio característico de la EDO como: $$$a_n\cdot \lambda^n+a_{n-1} \cdot \lambda^{n-1}+ \ldots + a_1 \cdot \lambda+a_0=0$$$ y buscamos sus $$n$$ raíces.

El polinomio característico es fácil de escribir, basta canviar $$y$$ por $$\lambda$$ y elevar al orden de derivación correspondiente.

Por ejemplo, en la EDO que hemos dado antes, el polinomio característico asociado es: $$\lambda ^2+1=0$$.

Este polinomio tiene dos raíces complejas conjugadas: $$\lambda_1=i, \ \lambda_2=-i$$

Entonces

  • Si $$\lambda$$ es real y simple dará lugar a la solución: $$e^{\lambda x}$$
  • Si $$\lambda$$ es real de multiplicidad $$m$$ dará lugar a las $$m$$ soluciones:$$e^{\lambda x}, x\cdot e^{\lambda x}, x^2\cdot e^{\lambda x}, \ldots, x^{m-1} \cdot e^{\lambda x}$$
  • Si $$\lambda=a+bi$$ es complejo y simple, dará lugar a dos soluciones: $$e^{ax}\cos (bx), e^{ax}\sin (bx)$$ (hay dos porque siempre que existe una raíz compleja su conjugada también aparece)
  • Si $$\lambda=a+bi$$ es complejo de multiplicidad $$m$$, dará lugar a las $$2m$$ soluciones: $$$e^{ax}\cos (bx),x \cdot e^{ax}\cos (bx), \ldots, x^{m-1}e^{ax}\cos (bx) \\ e^{ax}\sin (bx), x\cdot e^{ax}\sin (bx), \ldots, x^{m-1} e^{ax}\sin (bx)$$$

Entonces, encontradas estas $$n$$ soluciones, la solución general de la EDO será una combinación lineal de estas $$n$$ soluciones.

Retomemos el ejemplo del principio. Como nuestro polinomio tenía por raíces dos complejos conjudados (simples) estamos en el caso 3. Por lo tanto la solución es: $$$y(x)=c_1 \cdot \cos x+ c_2 \cdot \sin x$$$ donde las constantes se determinarán con las condiciones iniciales (en caso de tenerlas).

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