Ecuación diferencial ordinaria (EDO)

Una EDO es una ecuación en qué las incógnitas son una o varias funciones que dependen de una variable independiente. Además, para evaluar la ecuación en un punto sólo nos hace falta conocer el valor de las funciones incógnitas y sus derivadas en ese punto. Otro tipo de ecuaciones no se llamarán ordinarias.

Un ejemplo sería la ecuación: $$y'=y$$ donde $$y=y(x)$$, es una función de una variable y para evaluar la ecuación sólo nos hace falta conocer $$y$$ e $$y'$$ en un punto.

El orden de una EDO es el orden de la derivada de orden más alto que aparece en la ecuación. Por ejemplo, en el caso anterior, el orden de la EDO es $$1$$.

Existe un resultado que nos dice que podemos escribir cualquier EDO como un sistema de EDO's de orden $$1$$.

Así pues siempre que nos refiramos a una EDO, la escribiremos como $$y'=f(x,y)$$ entendiendo que $$y$$ es quizás un vector.Por ejemplo,

Si tenemos la EDO: $$$\displaystyle 2 \cdot \frac{y'}{x^2}+5x^3=\frac{3y^2+5}{8x}$$$ entonces la podemos reescribir como: $$$\displaystyle 2\cdot \frac{y'}{x^2}=\frac{3y^2+5}{8x}-5x^3 \Longrightarrow y'=\frac{3y^2x+5x}{16}-\frac{5}{2}x^5$$$ de manera que $$$\displaystyle f(x,y)=\frac{3y^2x+5x}{16}-{5}{2}x^5$$$

Definimos un problema de valores iniciales (PVI) como el sistema: $$$\left\{\begin{matrix}y' = f(x,y) \\ y(x_0) = y_0 \end{matrix}\right. $$$ es decir, buscamos una función que cumpla la ecuación diferencial y, además, pase por $$y_0$$ en $$x_0$$.

También nos preguntamos si siempre existirá solución. Pues bien, existe un resultado que nos garantiza la existencia y unicidad de solución de un PVI si la $$f$$ que define el PVI es suficientemente buena, basta con derivable.

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