Binomio de Newton y triángulo de Pascal

Binomio de Newton

El binomio de Newton es un algoritmo que permite calcular una potencia cualquiera de un binomio, para ello se emplean los coeficientes binomiales, que no son más que una sucesión de números combinatorios. La fórmula general del binomio de Newton dice:

$$$ (a+b)^n = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} a^n + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} a^{n-1} b + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} a^{n-2} b^2 + \ldots + $$$ $$$ \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} a b^{n-1} + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} b^{n} $$$

Los números combinatorios que aparecen en la fórmula son precisamente los llamados coeficientes binomiales.

Por ejemplo: $$$ \begin{array}{rl} (a+b)^4 =& \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} a^4 + \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} a^3 b + \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} a^2 b^2 + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} a b^3 + \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} b^4 \\ =& a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{array}$$$

(En el caso en que en el binomio figure un signo menos, los signos del desarrollo deben irse alternando de la forma $$+ \ -\ +\ -\ +\ -\ \ldots$$)

Triángulo de Pascal

Pascal ideó una manera sencilla de calcular números combinatorios (aunque en algunos textos esta idea se atribuye a Tartaglia):

$$$ \begin{array}{ccccccccccc} & & & & & 1 & & & & & \\ & & & & 1 & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 2 & & 1 & & & \\ & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & \\ & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & \\ 1& & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 \end{array}$$$

El método recibe el nombre de triángulo de Pascal y se construye de la siguiente forma ( por filas y de arriba a abajo):

  • En el vértice se coloca un $$1$$.
  • Cada fila empieza y acaba en $$1$$.
  • Los otros números de la fila son siempre la suma de los dos que tiene justo encima.

La última fila, por ejemplo, nos daría el valor de los números combinatorios consecutivos:

$$$ \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} $$$

El término general del desarrollo de $$(a+b)^n$$ viene dado por la fórmula $$$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^{n-k}b^k$$$

Según esto, en el primer ejemplo tendríamos que el tercer término sería (para $$k = 2$$, ya que la serie empieza siempre por $$k = 0$$):

$$$\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} a^2 b^2=6a^2b^2$$$

Esta fórmula permite calcular el valor de un término cualquiera sin necesidad de efectuar todo el desarrollo.

Por ejemplo, para calcular el 20º término del desarrollo de $$(x+y)^{30}$$. Aplicando la fórmula:

$$$ \begin{pmatrix} 30 \\ 19 \end{pmatrix} x^{30-19} y^{19} = 54627300 x^{11}y^{19}$$$

Ver problemas