El factorial de un número

Tomemos un número entero positivo cualquiera, por ejemplo el $$5$$, y hagamos la siguiente multiplicación:

$$$5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120$$$

Es decir, el producto de todos los enteros positivos que son menores que $$5$$.

A este resultado se le llama factorial de cinco y se indica poniendo un signo de admiración al lado del número cinco: $$5!$$ y se lee diciendo "cinco factorial".

$$$5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120$$$

Otros ejemplos serían:

  • Tres factorial: $$ 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6$$
  • Ocho factorial: $$8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 40320$$
  • Cuatro factorial: $$4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24$$

Todas las calculadoras científicas tienen una tecla que permite hacer este cálculo. Suele estar indicada con una equis seguida el signo de admiración $$x!$$. de manera que lo que hay que hacer para calcular el factorial de un número es escribir dicho número en la calculadora y luego pulsar la tecla $$x!$$.

Cuando se trata de números grandes la expresión factorial es larga y se puede abreviar mediante puntos suspensivos.

Por ejemplo: $$$8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$$$ también lo podemos escribir de esta forma: $$$8! = 8\cdot7 \cdot \ldots \cdot 2\cdot1$$$

Para escribir, por ejemplo $$54!$$ basta con escribir unos cuantos números del principio y otros del final separados por puntos suspensivos: $$$54! = 54\cdot53\cdot52 \cdot \ldots \cdot 3\cdot2\cdot1$$$

Estamos ahora en condiciones de dar la definición general del factorial de un número. El factorial de un número entero positivo $$n$$ se define como: $$$ n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1$$$

Lógicamente $$1! = 1$$. Lo que ya no parece tan lógico es que $$0! = 1$$, pero se adopta como convenio. De manera que para el cálculo de factoriales es importante recordar que $$1! = 1$$ y $$0! = 1$$.

Es fácil observar, utilizando una calculadora, que el factorial de un número crece de forma casi exponencial, es decir que crece muy deprisa.

$$10! = 3628800$$

$$15! = 1307674368000$$

$$20! = 2432902008176640000$$

Por lo que puede ser difícil el evitar cálculos engorrosos cuando se están haciendo operaciones con factoriales.

Una propiedad de los factoriales, que se puede utilizar para simplificar fracciones, es: $$$n! = n \cdot (n-1)!$$$

Por ejemplo, el factorial de $$8$$

$$$8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$$$

Podemos asociar los factores de la siguiente manera: $$$8 \cdot (7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1)$$$

el grupo que está entre paréntesis es precisamente $$7!$$. De manera que podemos poner: $$$8! = 8 \cdot (7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1) = 8\cdot7!$$$

$$7! = 7\cdot6!$$

$$11! = 11\cdot10\cdot9!$$

$$x! = x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3)!$$

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