Ecuaciones con números factoriales y números combinatorios

Vamos a ver ahora ecuaciones que contienen factoriales o números combinatorios en general. Pueden ser ecuaciones sencillas o especialmente difíciles, por lo que se ha de tener cierto cuidado cuando se generan. Veamos primero como se resuelve una ecuación sencilla.

$$$x!=72\cdot(x-2)!$$$
Pasamos la $$x$$ al primer miembro de la ecuación y desarrollamos los factoriales. $$$\begin{array}{rcl} \dfrac{x!}{(x-2)!} &=& 72 \\ \dfrac{x(x-1)(x-2)!}{(x-2)!}&=& 72 \\ x(x-1)=x^2-x&=&72 \end{array}$$$

con lo que debemos resolver la ecuación de segundo grado:

$$x^2-x-72=0$$

$$x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+4\cdot72}}{2}=\dfrac{1\pm17}{2}$$

$$x_1=9$$, $$\ x_2=-8$$

Rechazamos la solución negativa, ya que no tiene sentido hablar del factorial de un número negativo. Con lo que la solución pedida será pues $$x = 9$$.

Veamos otro ejemplo algo más complicado. Resolver: $$$ \begin{pmatrix} x \\ 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} x \\ 3 \end{pmatrix} =x+1$$$

Aplicamos al primer miembro la fórmula de Stifel: $$$ \begin{pmatrix} x \\ 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} x \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+1 \\ 3 \end{pmatrix} = x+1$$$

y desarrollamos el número combinatorio: $$$\begin{pmatrix} x+1 \\ 3 \end{pmatrix} = \dfrac{(x+1)!}{3!(x-2)!} = \dfrac{(x+1)\cdot x \cdot (x-1)\cancel{(x-2)}}{3!\cancel{(x-2)!}} =x+1$$$

Simplificando $$(x+1)$$ en ambos miembros queda la ecuación de segundo grado: $$$x^2-x=-6 \ \Rightarrow \ x^2-x-6=0$$$

que pasamos a resolver: $$$x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\dfrac{1\pm5}{2} \Rightarrow x_1=3, \ x_2=-2$$$

Como hicimos antes rechazamos la solución negativa por carecer de sentido, con lo que la respuesta es $$x=3$$.

Como decíamos al principio, construir una ecuación en la que intervengan factoriales o números combinatorios es algo delicado. En este último ejemplo vamos a ver una manera de hacerlo.

Empezamos decidiendo cual va a ser la solución de la ecuación. Por ejemplo $$x = 1$$. La ecuación más sencilla posible con esta solución es $$x - 1 = 0$$. Elevamos ambos miembros al cuadrado y vamos introduciendo nuevos elementos:

$$$ \begin{array} {rcl} (x-1)^2&=&0 \\ x^2-2x+1&=&0 \\ x(x-2)+1&=&0 \\ x(x-2)&=&-1 \\ \dfrac{x!}{(x-1)!}\cdot\dfrac{(x-2)!}{(x-3)!}&=&-1 \\ x!(x-2)!&=&-(x-1)!(x-2)! \end{array}$$$

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