Teorema de la probabilidad total

Ejercicios

En los sorteos para la Copa de Europa de futbol, nos puede tocar, con la misma probabilidad, contra el Liverpool o contra el Chelsea. Si jugamos contra Liverpool, hay un 60% de probabilidades de ganar, y un 15% de probabilidades de empatar. Si jugamos contra Chelsea, hay un 30% de probabilidades de ganar, y un 40% de probabilidades de perder. ¿Qué probabilidad tenemos de, como mínimo, empatar?

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Desarrollo:

Representamos por $$L =$$ "jugar contra el Liverpool", $$C =$$ "jugar contra el Chelsea".

Tenemos tres sucesos posibles: $$G =$$ "ganar", $$E =$$ "empatar", $$P =$$ "perder". Nos preguntan por la probabilidad $$P(G\cup E)$$.

Representamos el problema en un diagrama en árbol. Observemos que, aunque el enunciado no nos da todos los datos, podemos encontrar los que nos faltan: si contra el Liverpool hay un $$0,6$$ de probabilidades de ganar, y un $$0,15$$ de empatar, entonces tiene que haber un $$0,25$$ dde probabilidades de perder, puesto que sólo puede suceder una de las tres cosas, y por lo tanto, se debe cumplir que $$0,6 + 0,15 + 0,25 = 1$$. Por el mismo motivo, la posibilidad de empatar contra el Chelsea es de $$1 - 0,3-0,4 = 0,3$$.

imagen

Aplicamos el teorema de la probabilidad total. $$$ P(G\cup E)=P(L)\cdot P(G/L)+P(L)\cdot P(E/L)+P(C)\cdot P(G/C)+ P(C)\cdot P(E/C)$$$

En nuestro caso,

$$$ P(G\cup E)=\dfrac{1}{2}\cdot 0,6 + \dfrac{1}{2}\cdot 0,15 + \dfrac{1}{2}\cdot 0,3 + \dfrac{1}{2}\cdot 0,3=0,675$$$

También podríamos haber resuelto el problema calculando la probabilidad de perder, que nos daría $$0,325$$, y entonces calcular la probabilidad de ganar o empatar haciendo el complementario.

Es decir, $$ P(G\cup E)= 1- P(P)=1-0,325=0,675 $$ (nos da lo mismo).

Solución:

La probabilidad es $$ P(G\cup E)=0,675$$.

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