Decir si las siguientes ecuaciones tienen alguna solución usando el teorema de Bolzano:
a) $$x^2=1$$
b) $$e^x= 3+\ln x$$
c) $$x^4+2x=0$$
Desarrollo:
a) Definimos la función $$f(x)=x^2-1$$. Vamos a buscar dos valores $$a$$ y $$b$$ tal que al evaluarlos por la función $$f(x)$$ obtengamos valores de signos opuestos:
Tomando
$$x=0 \Rightarrow f(0)=-1 < 0$$
$$x=2 \Rightarrow f(2)=5 > 0$$
por lo que en el intervalo $$[0,2]$$ existe un punto $$c$$ donde $$f (c) = 0$$ y por lo tanto resuelve nuestra ecuación. (en este caso $$c=1$$ y $$f (1) = 0$$).
b) Definimos la función $$f(x)=e^x-\ln x-3$$. Busquemos dos valores $$a$$ y $$b$$ tal que al evaluarlos por la función $$f(x)$$ obtengamos valores de signos opuestos:
Tomando
$$x=1 \Rightarrow f(1)=e-0-3=-0.2817 < 0$$
$$x=2 \Rightarrow f(2)=3.69 > 0$$
Así que en el intervalo $$[1,2]$$ existirá al menos un punto $$c$$ donde $$f (c) = 0$$ y de esta manera sabemos con certeza que existe algún valor solución de nuestra ecuación.
c) Definimos la función $$f(x)=x^4+2x$$ y repetimos el proceso:
Tomando
$$x=-1 \Rightarrow f(-1)=(-1)^4+2\cdot(-1)=1-2=-1 < 0$$
$$x=1 \Rightarrow f(1)=1+2=3 > 0$$
por lo que en el intervalo $$[-1,1]$$ existe un punto que es solución de nuestra ecuación.
Solución:
a) Tiene al menos una solución en el intervalo $$[0,2]$$.
b) Tiene al menos una solución en el intervalo $$[1,2]$$.
c) Tiene al menos una solución en el intervalo $$[-1,1]$$.