Dadas las fracciones $$\dfrac{x+3}{x-1}$$ y $$\dfrac{x-3}{x+1}$$, realizar una expansión de tal manera que los denominadores tengan como raíz $$x=-2$$ y $$x=4$$, respectivamente.
Desarrollo:
Para que el denominador tenga como raíz $$x=-2$$, basta multiplicar la fracción algebraica por la expresión $$x+2$$ tanto en el numerador como en el denominador:
$$$\dfrac{x+3}{x-1}\cdot\dfrac{x+2}{x+2}=\dfrac{(x+3)\cdot(x+2)}{(x-1)\cdot(x+2)}=\dfrac{x\cdot(x+2)+3\cdot(x+2)}{x\cdot(x+2)-1\cdot(x+2)}=\dfrac{x^2+5x+6}{x^2+x+4}$$$
Para que el denominador tenga como raíz $$x=4$$, basta multiplicar la fracción algebraica por la expresión $$x-4$$ tanto en el numerador como en el denominador:
$$$\dfrac{x-3}{x+1}\cdot\dfrac{x-4}{x-4}=\dfrac{(x-3)\cdot(x-4)}{(x+1)\cdot(x-4)}=\dfrac{x\cdot(x-4)-3\cdot(x-4)}{x\cdot(x-4)+1\cdot(x-4)}=\dfrac{x^2-7x+12}{x^2-3x-4}$$$
Solución:
$$\dfrac{x^2+5x+6}{x^2+x+4}$$
$$\dfrac{x^2-7x+12}{x^2-3x-4}$$