Decir si las siguientes funciones son simétricas, antisimétricas y/o periódicas o no y encontrar los puntos de corte con los ejes:
- $$f(x)=x^2-4$$
- $$f(x)=\cos (x)$$
- $$f(x)=\dfrac{2x}{x^2-1}$$
- $$f(x)=x$$
Desarrollo:
-
La función es simétrica respecto el eje $$x=0$$: $$$ f(-x)=(-x)^2-4=x^2-4=f(x)$$$ La función no es periódica ya que no presenta ningun tipo de periodo.
Puntos de corte con los ejes:
Si $$x=0 \Rightarrow y=f(0)=-4 \Rightarrow (0,-4)$$
Si $$y=0 \Rightarrow 0=f(x)=x^2-4 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2 \Rightarrow (2,0), \ (-2,0)$$
-
La función es simétrica respecto el eje $$x=0$$ ya que $$$\cos (x)=\cos(-x)$$$ Además, el coseno es $$2\pi$$-periódico: $$\cos(x+2\pi)=\cos(x)$$.
Puntos de corte con los ejes:
Si $$x=0 \Rightarrow y=f(0)=\cos(0)=1 \Rightarrow (0,1)$$
Si $$y=0 \Rightarrow 0=f(x)=\cos(x) \Rightarrow x=\pi+\pi k \Rightarrow (\pi+\pi k,0)$$ para todo $$k\in\mathbb{Z}$$
-
Esta función es antisimétrica respecto el eje $$x=0$$ ya que $$$ f(-x)=\dfrac{-2x}{(-x)^2-1}=\dfrac{-2x}{x^-1}=-f(x)$$$ No presenta ningún tipo de período.
Puntos de corte con los ejes:
Si $$x=0 \Rightarrow y=f(0)=0 \Rightarrow (0,0)$$
Si $$y=0 \Rightarrow 0=f(x)=\dfrac{2x}{x^2-1} \Rightarrow 0=2x \Rightarrow x=0 \Rightarrow (0,0)$$
-
Función claramente antisimétrica en el eje $$x=0$$: $$$f(-x)=-x=-f(x)$$$ Puntos de corte con los ejes:
Si $$x=0 \Rightarrow y=f(0)=0 \Rightarrow (0,0)$$
Si $$y=0 \Rightarrow 0=f(x)=x \Rightarrow x=0 \Rightarrow (0,0)$$
Solución:
- Función par, no periódica. Cortes con los ejes en los puntos $$(0,-4),\ (2,0), \ (-2,0)$$.
- Función par, periódica de período $$2\pi$$. Cortes con los ejes en los puntos $$(0,1), \ (\pi+\pi k,0)$$ para tot $$k\in\mathbb{Z}$$.
- Función impar, sin períodos. Cortes con los ejes en los puntos $$(0,0)$$.
- Función impar, sin períodos.Cortes con los ejes en los puntos $$(0,0)$$.