a) Definir dos funciones $$f(x)$$ y $$g(x)$$, la primera una parábola (ecuación de segundo grado) y la segunda una recta.
b) Encontrar la recta $$r(x)$$, tangente a $$f(x)$$ y normal a $$g(x)$$.
Desarrollo:
a) Se definen $$f(x)=x^2+4x-3$$ y $$g(x)=-2x+5$$.
b) Se busca en primer lugar el pendiente de $$r(x)$$.
Pendiente de $$g(x): \ g'(x)=-2$$
$$r(x)$$ normal a $$g(x) \rightarrow r'(x)=-\dfrac{1}{-2}=\dfrac{1}{2}$$
Se busca el punto de $$f(x)$$ con derivada de valor $$\dfrac{1}{2}$$, es decir, el punto de tangencia: $$$f'(a)=2a+4=\dfrac{1}{2} \Rightarrow a=-\dfrac{7}{4}$$$ $$$f\Big(-\dfrac{7}{4}\Big)=\Big(-\dfrac{7}{4}\Big)^2+4\Big(-\dfrac{7}{4}\Big)-3=-\dfrac{111}{16}$$$
El punto de tangencia será $$(a,f(a))=\Big(-\dfrac{7}{4},-\dfrac{111}{16} \Big)$$
Se escribe la ecuación de la recta $$r(x)$$: $$$y+\dfrac{111}{16}=\dfrac{1}{2}\cdot\Big(x+\dfrac{7}{4}\Big)$$$ $$$r(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x-\dfrac{97}{16}$$$
Solución:
a) $$f(x)=x^2+4x-3$$, $$g(x)=-2x+5$$.
b) $$r(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x-\dfrac{97}{16}$$