Si $$a$$ y $$b$$ son dos números reales tales que $$a < b$$, se puede deducir que $$a^2 < b^2$$?
Desarrollo:
Supongamos primero que tanto $$a$$ como $$b$$ son números positivos, es decir, $$0 < a < b$$, entonces, multiplicamos la desigualdad $$a < b$$ por $$a$$, y obtenemos: $$$a\cdot a < a \cdot b \Rightarrow a^2 < a\cdot b $$$
A continuación multiplicamos la desigualdad por $$b$$ y obtenemos: $$$a\cdot b < b \cdot b \Rightarrow a\cdot b < b^2$$$
Y si unimos ambas desigualdades, tenemos que: $$$a^2 < a\cdot b < b^2 \Rightarrow a^2 < b^2$$$
Supongamos ahora que tanto $$a$$ como $$b$$ son números negativos, es decir, $$a < b < 0$$, y repetimos el proceso. Al multiplicar la desigualdad por $$a$$, obtenemos: $$$a\cdot a > a \cdot b \Rightarrow a^2 > a\cdot b $$$
Al multiplicarla por $$b$$ obtenemos: $$$a\cdot b > b \cdot b \Rightarrow a\cdot b > b^2$$$
Y si unimos ambos desigualdades, tenemos que: $$$a^2 > a\cdot b > b^2 \Rightarrow a^2 > b^2$$$
Pero veamos a ver que sucede si uno de los números es mayor que cero y el otro menor. Es decir, si tenemos $$a < 0 < b$$. Procediendo de la misma forma, obtenemos, al multiplicar la desigualdad $$a < b$$ por $$a$$: $$$a\cdot a > a \cdot b \Rightarrow a^2 > a \cdot b$$$
Y al multiplicar por $$b$$ obtenemos: $$$a\cdot b < b \cdot b \Rightarrow a \cdot b < b^2 $$$
De tal forma que no podemos unir ambos resultados.
De hecho podemos encontrar ejemplos de todo tipo:
Si escogemos: $$-\dfrac{1}{2} < 2$$, entonces, $$\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^2$$ y $$2^2=4$$ y se mantiene la desigualdad: $$\dfrac{1}{4} < 4$$.
Pero si escogemos $$-2 < \dfrac{1}{2}$$, entonces $$(-2)^2=4$$ y $$\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2=\dfrac{1}{4}$$ y se invierte la desigualdad: $$4 > \dfrac{1}{4}$$.
Solución:
- Si $$0 < a < b$$ entonces $$a^2 < b^2$$.
- Si $$a < b < 0$$ entonces $$a^2 > b^2$$.
- Pero si $$a < 0 < b$$ entonces no podemos afirmar nada con solo esta información (hemos visto que pueden pasar ambas cosas).