Ejercicios de Operaciones y límites entre sucesiones

Desarrollo:

a) La sucesión viene dada por el producto de las sucesiones $$a_n=(-1)^n$$ y $$b_n=\dfrac{(2n+3)}{9n^3-11n+3}$$.

La primera está acotada y la segunda tiene límite $$0$$. Aplicando el resultado presentado obtenemos que el producto tiene límite $$0$$.

b) En este caso no podemos aplicar el resultado usado al apartado anterior directamente. Usaremos que el límite de la suma es la suma de límites. Es decir, $$$\lim_{n \to \infty}{a_n}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{(-1)^nn^2}{4n^3-8}}+\lim_{n \to \infty}{\dfrac{7n^3+21}{4n^3-8}}$$$

Ahora podemos aplicar el resultado comentado al primer límite. Ya que corresponde al producto de las sucesiones $$\{(-1)^n\}_{n\in\mathbb{N}}$$ y $$\Big\{\dfrac{7n^3+21}{4n^3-8} \Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$.

Entonces el primer límite de la suma es $$0$$. El segundo límite es $$\dfrac{7}{4}$$.

Así obtenemos el resultado deseado $$\lim_{n \to \infty}{a_n}= \dfrac{7}{4}$$.

Solución:

a) El límite es $$0$$.

b) El límite es $$\dfrac{7}{4}$$.

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Desarrollo:

a) El límite de las dos sucesiones es infinito y por las reglas aritméticas definidas tenemos que el límite de la suma y el del producto también es infinito. Para calcular el límite de la resta y del cociente debemos resolver la indeterminación. Para el límite de la resta $$$\lim_{n \to \infty}{\dfrac{n^3-3}{n-6}-\dfrac{3n^4-7}{3n^2+n-1}}=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{(n^3-3)(3n^2+n-1)-(3n^4-7)(n-6)}{(n-6)(3n^2+n-1)}\Big)}=$$$ $$$=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{19n^4-n^3-9n^2+4n-39}{3n^3-5n^2-7n+6}\Big)}=\infty$$$

Para el límite del cociente $$$\lim_{n \to \infty}{\dfrac{n^3-3}{n-6}/\dfrac{3n^4-7}{3n^2+n-1}}=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{(n^3-3)(3n^2+n-1)}{(n-6)(3n^4-7)}\Big)}=$$$ $$$=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{3n^5+n^4-n^3-9n^2-3n+3}{3n^5-18n^4-7n+42}\Big)}=1$$$

b) El límite de $$a_n=2+3^n$$ es infinito y el límite de $$b_n=\dfrac{1}{5^n}$$ es $$0$$.

Siguiendo las reglas aritméticas, el límite de la suma y resta también es infinito. Para calcular el límite del producto $$$\lim_{n \to \infty}{(2+3^n)\cdot\dfrac{1}{5^n}}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2}{5^n}}+\lim_{n \to \infty}{\dfrac{3^n}{5^n}}=0+0=0$$$

Para calcular el límite del cociente; $$$\lim_{n \to \infty}{(2+3^n)/\dfrac{1}{5^n}}=\lim_{n \to \infty}{2\cdot5^n}+\lim_{n \to \infty}{3^n\cdot5^n}=\infty+\infty=\infty$$$

Solución:

a) El límite de la suma, resta y multiplicación es infinito. El límite del cociente es $$1$$.

b) El límite de la suma, resta y cociente es infinito. El límite del producto es $$0$$.

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