Ejercicios de Límite de una sucesión

Desarrollo:

Siguiendo la notación introducida, fijado un $$m$$ natural queremos encontrar un $$N$$ natural de manera que se cumpla $$\Big|\dfrac{1}{n^k}-0 \Big| < \dfrac{1}{m}$$ para todo $$n > N$$.

Equivalentemente $$m < n^k$$ y por tanto hace falta $$m^{1/k} < n$$.

En este último paso es donde utilizamos $$k > 0$$ ya que en otro caso deberíamos girar el signo de la desigualdad.

Por tanto, como elección de $$N$$ podemos elegir cualquier $$N > m^{1/k}$$.

Solución:

Siguiendo la notación presentada, fijado un $$m$$ entero debemos escoger $$N$$ como un entero que cumpla $$N > m^{1/k}$$.

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Desarrollo:

a) Como el grado del polinomio del numerador es menor que el del denominador el límite es $$0$$.

b) El grado del polinomio del numerador es mayor que el del denominador y en este caso la sucesión tiende a infinito. Para calcular el signo miramos el signo del cociente de los coeficientes de grado mayor de los dos polinomios. Este cociente corresponde a $$\dfrac{4}{6}$$ que es positivo. Por tanto el límite de la sucesión es $$+\infty$$.

c) Como los grados del polinomio del numerador y el del denominador son iguales, el límite corresponde al cociente de los coeficientes de grado mayor de los dos polinomios. En este caso el coeficiente de grado mayor del numerador es $$7$$ y el del denominador es $$-2$$. Así el límite de la sucesión es $$-\dfrac{7}{2}$$.

d) La sucesión corresponde a la sucesión $$a_n=b^n$$ con $$b=-\dfrac{5}{3}$$. Como $$-\dfrac{5}{3} \leq -1$$ la sucesión no tiene límite.

Solución:

a) El límite de la sucesión es $$0$$.

b) La sucesión tiende a $$+\infty$$.

c) El límite de la sucesión es $$-\dfrac{7}{2}$$.

d) La sucesión no tiene límite.

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