Ejercicios de Intersección de una circunferencia y una recta

Calcula la posición relativa de la circunferencia $$x^2+y^2-2x-3=0$$ y la recta $$3x+y-5=0$$.

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Desarrollo:

Se plantea el sistema formado por las dos ecuaciones: $$$\left\{\begin{array}{c} x^2+y^2-2x-3=0 \\ 3x+y-5=0 \end{array}\right\} \Rightarrow x^2+(5-3x)^2-2x-3=0 \Rightarrow 5x^2-16x+11=0$$$

Calculamos el discriminante de la ecuación de segundo grado: $$$x=\dfrac{16\pm\sqrt{16^2-4\cdot5\cdot11}}{2\cdot5}=\dfrac{16\pm\sqrt{36}}{10} \Rightarrow \Delta=36 > 0$$$ La recta y la circunferencia son secantes puesto que el discriminante es mayor que cero.

Calculemos los dos puntos de intersección. $$$x=\dfrac{16\pm\sqrt{36}}{10} \Rightarrow x=\left\{\begin{array}{c} \dfrac{11}{5} \\ 1 \end{array}\right. \Rightarrow y=\left\{\begin{array}{c} \dfrac{-8}{5} \\ 2 \end{array}\right.$$$

Solución:

Son secantes en los puntos de la circunferencia $$\Big(\dfrac{11}{5},-\dfrac{8}{5}\Big)$$ y $$(1,2)$$.

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Calcula la posición relativa de la circunferencia $$x^2+y^2-4x+2y-20=0$$ y la recta $$3x+4y-27=0$$.

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Desarrollo:

Planteamos el sistema formado por $$$\left\{\begin{array}{c} x^2+y^2-4x+2y-20=0 \\ 3x+4y-27=0 \end{array}\right.$$$

Aislamos por ejemplo la $$x$$ de la ecuación de la recta: $$$x=\dfrac{27-4y}{3}$$$ y la sustituimos en la ecuación general de la circunferencia que nos da el enunciado $$$\Big(\dfrac{27-4y}{3}\Big)^2+y^2-4\Big(\dfrac{27-4y}{3}\Big)+2y-20=0$$$ Esta es la ecuación de la que tenemos que mirar el discriminante. Desarrollando los cuadrados tenemos: $$$\dfrac{27^2}{9}-2\cdot\dfrac{27}{3}\cdot\dfrac{4y}{3}+\dfrac{16y^2}{9}+y^2-\dfrac{4\cdot27}{3}+\dfrac{16y}{3}+2y-20=0$$$ $$$\Big(\dfrac{16}{9}+1\Big)y^2+\Big(\dfrac{16}{3}+\dfrac{6}{3}-\dfrac{72}{3}\Big)y-20+\dfrac{27^2}{9}-\dfrac{4\cdot27}{3}=0$$$ $$$\Big(\dfrac{25}{9}\Big)y^2+\Big(-\dfrac{50}{3}\Big)y-20+27\cdot3-\dfrac{108}{3}=0$$$ $$$\Big(\dfrac{25}{9}\Big)y^2+\Big(-\dfrac{50}{3}\Big)y+\dfrac{75}{3}=0$$$ $$$25y^2-150y+225=0$$$

Resolviendo esta ecuación de segundo grado tenemos: $$$y=\dfrac{150\pm\sqrt{150^2-4\cdot25\cdot225} }{2\cdot25}=\dfrac{150\pm\sqrt{0}}{50}=3$$$ Por lo tanto el discriminante es $$$\Delta=\sqrt{22.500-22.500}=0$$$ y resulta ser que la circunferencia y dicha recta son tangentes en un punto. Sustituyendo la $$y$$ encontrada en la ecuación de la recta obtenemos: $$$x=\dfrac{27-4\cdot3}{3}=\dfrac{27-12}{3}=\dfrac{15}{3}=5$$$ por lo que el punto de intersección será el $$(5,3)$$.

Solución:

Son tangentes en el punto $$(5,3)$$.

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