Calcular la integral $$\displaystyle \int \frac{x+4}{x^2-5x+3} \ dx$$
Ver desarrollo y solución
Desarrollo:
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El grado del numerador es menor que el del denominador, o sea que no es necesario hacer la división de polinomios.
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$$\dfrac{x+4}{x^2-5x+3}=\dfrac{x+4}{(x-2)(x-3)}$$
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$$\dfrac{x+4}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x-3}$$
- $$\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x-3}=\dfrac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)}$$
$$x=Ax+Bx$$, para todo $$x$$, así que tenemos la igualdad $$1=A+B$$ y también $$4=-3A-2B$$.
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Resolviendo el sistema $$\begin{array} {ll} 1=A+B \\ 4=-3A-2B \end{array}$$ tenemos $$A =-6$$ y $$B=5$$.
- Tenemos que $$\dfrac{x+4}{x^2-5x+3}=\dfrac{-6}{x-2}+\dfrac{5}{x-3}$$, y entonces
$$$\int \frac{x+4}{x^2-5x+3} \ dx=\int\dfrac{-6}{x-2}+\dfrac{5}{x-3} \ dx=\int\dfrac{-6}{x-2} \ dx+ \int\dfrac{5}{x-3} \ dx=$$$ $$$=-6\cdot\ln|x-2|+5\cdot\ln|x-3|+C$$$
Solución:
$$\displaystyle \int \frac{x+4}{x^2-5x+3} \ dx= -6\cdot\ln|x-2|+5\cdot\ln|x-3|+C$$