Calcular la siguiente integral por el método del cambio de variable: $$\displaystyle \int_0^3 \sqrt{9-x^2} \ dx$$
Desarrollo:
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Cambio de variable $$x=3 \cdot \sin(t)$$
- $$dx=3 \cdot \cos(t) \cdot dt$$
$$x=0 \Rightarrow u=arcsin\Big(\dfrac{0}{3}\Big)=0$$
$$x=3 \Rightarrow u=arcsin\Big(\dfrac{3}{3}\Big)=\dfrac{\pi}{2}$$
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$$\displaystyle \int_0^3 \sqrt{9-x^2} \ dx= \int_0^\frac{\pi}{2} 3\cdot\cos(t)\cdot\sqrt{9-3^2\cdot\sin^2(t)} \ dt =9\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^3(t) \ dt$$
- $$\displaystyle 9 \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2(t) \ dt=9 \int_0^\frac{\pi}{2} \dfrac{1+\cos(2t)}{2} \ dt=$$
$$=\displaystyle 9\int_0^\frac{\pi}{2} \dfrac{1}{2} \ dt+\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\cos(2t)}{2} \ dt = \dfrac{9}{4}\pi+0=\dfrac{9}{4}\pi $$
Observemos que, cuando se tiene una integral de un coseno o un seno con un exponente par, aplicaremos la fórmula del ángulo doble tantas veces como sea necesario para reducir el grado de la integral.
Solución:
$$\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{9-x^2} \ dx=\dfrac{9}{4}\pi$$
Como podemos ver, si los límites de integración están bien calculados, no hace falta deshacer el cambio de variable.