Calcular la integral $$\displaystyle\int\dfrac {x \sin (x^2)}{1+ \cos^2 (x^2)} \ dx$$
Desarrollo:
Seguiremos el siguiente procedimiento:
- Observar de qué tipo de integral casi-inmediata puede tratarse, e identificar si están todos los elementos de la regla de la cadena.
Aunque esta integral pueda parecer muy complicada, si nos fijamos en ella, podemos ver en el denominador un elemento de la forma $$1+x^2$$, teniendo $$\cos(x^2)$$ en lugar de $$x$$.
Eso nos hace pensar en que quizás se trate de una integral de arcotangente:
$$$\int\dfrac {x \sin (x^2)}{1+ \cos^2 (x^2)} \ dx=\int\dfrac {x \sin (x^2)}{1+ (\cos(x^2))^2} \ dx$$$
Ahora bien, sabemos que, $$\dfrac{d}{dx}(\cos(x^2))=-2\cdot x\cdot\sin(x^2)$$, así que sólo nos falta un $$-2$$ en el numerador para que éste sea la derivada de $$\cos(x^2)$$, por lo tanto:
$$$\int\dfrac {x \sin (x^2)}{1+ (\cos(x^2))^2} \ dx= -\dfrac{1}{2}\int\dfrac{-2\cdot x \cdot\sin(x^2)}{1+(\cos(x^2))^2} \ dx$$$ que es una integral del arcotangente de $$\cos(x^2)$$ con la derivada de éste multiplicando.
- Podemos usar la fórmula para calcular la integral: $$$-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{-2\cdot x \cdot\sin(x^2)}{1+(\cos(x^2))^2} \ dx= -\dfrac{1}{2}\cdot\arctan(\cos(x^2))+C$$$
Solución:
$$\displaystyle\int\dfrac {x \sin (x^2)}{1+ \cos^2 (x^2)} \ dx=-\dfrac{1}{2}\cdot\arctan(\cos(x^2))+C $$