Ejercicios de Fracciones equivalentes: simplificación y fracción irreductible

Desarrollo:

1. Primero debemos dividir $$840$$ entre $$7$$ y el resultado multiplicarlo por $$3$$: $$$(840:7)\cdot3=120\cdot3=360$$$
2. $$(-45:9)\cdot(-2)=-5\cdot(-2)=10$$

Solución:

1. $$360$$
2. $$10$$

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Desarrollo:

Empezamos mirando a qué fracciones es equivalente la fracción $$\dfrac{3}{4}$$. Para hacerlo debemos comprobarlo con cada una de las otras fracciones:

• $$\dfrac{3}{4}$$ y $$\dfrac{4}{5}$$ no son equivalentes pues $$3\cdot5=15$$ y $$4\cdot4=16$$
• $$\dfrac{3}{4}$$ y $$\dfrac{-3}{4}$$ no son equivalentes pues $$3\cdot4=12$$ y $$4\cdot(-3)=-12$$
• $$\dfrac{3}{4}$$ y $$\dfrac{4}{-3}$$ tampoco son equivalentes pues $$4\cdot4=16$$ y $$3\cdot(-3)=-9$$
• $$\dfrac{3}{4}$$ y $$\dfrac{-3}{-4}$$ son equivalentes pues $$3\cdot(-4)=4\cdot(-3).$$
• $$\dfrac{3}{4}$$ y $$\dfrac{12}{16}$$ son equivalentes ya que $$\dfrac{3}{4}=\dfrac{3\cdot4}{4\cdot4}=\dfrac{12}{16}.$$
• $$\dfrac{3}{4}$$ y $$\dfrac{3}{4}$$ son equivalentes porque toda fracción es equivalente a si misma (propiedad reflexiva).

A partir de aquí, gracias a la propiedad transitiva, tenemos que las fracciones $$\dfrac{3}{4}$$, $$\dfrac{-3}{-4}$$ y $$\dfrac{12}{16}$$ son equivalentes. Mientras que las otras tres, $$\dfrac{4}{5}$$, $$\dfrac{-3}{4}$$ y $$\dfrac{4}{-3}$$, sabemos que nos son equivalentes a las anteriores, pero todavía debemos comprobar que no son equivalentes entre ellas: $$\dfrac{4}{5}$$ no es equivalente a $$\dfrac{-3}{4}$$ pues $$4\cdot4=16$$ y $$5\cdot(-3)=-15$$, como tampoco lo es con $$\dfrac{4}{-3}$$. Y finalmente, debemos comprobar la pareja $$\dfrac{-3}{4}$$ y $$\dfrac{4}{-3}$$, que tampoco son equivalentes.

Solución:

Las fracciones $$\dfrac{3}{4}$$, $$\dfrac{-3}{-4}$$ y $$\dfrac{12}{16}$$ son equivalentes, mientras que las otras tres no los son.

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Desarrollo:

1. Para encontrar la forma irreductible de una fracción, debemos calcular primero las factorizaciones en primos de su numerador y denominador: $$18=2\cdot3^2$$ y $$24=2^3\cdot3.$$

   Y para la otra fracción: $$45=3^2\cdot5$$ y $$50=2\cdot 5^2.$$

   A continuación calculamos el máximo común divisor del numerador y denominador en cada caso: $$mcd(18,24)=2\cdot3=6$$ y $$mcd(45,50)=5.$$

   Finalmente dividimos numerador y denominador por el mcd: $$\dfrac{18}{24}=\dfrac{18:6}{24:6}=\dfrac{3}{4}$$ y $$\dfrac{45}{50}=\dfrac{45:5}{50:5}=\dfrac{9}{10}$$.

2. Para pasar del denominador $$7$$ a $$-98$$, es necesario multiplicar el $$7$$ por $$-14$$, ya que: $$-98=-2\cdot 7^2=7\cdot(-14).$$ Por lo tanto, podemos construir la fracción equivalente: $$\dfrac{-2}{7}=\dfrac{-2\cdot(-14)}{7\cdot(-14)}=\dfrac{28}{-98}$$.

Solución:

1. $$\dfrac{3}{4}$$ y $$\dfrac{9}{10},$$ respectivamente.
2. $$\dfrac{28}{-98}.$$

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