Resuelve las ecuaciones logarítmicas:
a) $$\log\Big(\dfrac{x}{3}+2\Big)-\log(2x-5)=0$$
b) $$\log(x+5)-1=\log(x-4)$$
c) $$\log(x+1)+\log(x-3)=\log x^2$$
Desarrollo:
a) La primera ecuación es sencilla, basta con pasar el segundo logaritmo al otro lado de la igualdad, con lo que se pueden eliminar los logaritmos y operar con la ecuación equivalente resultante: $$$\log\Big(\dfrac{x}{3}+2\Big)-\log(2x-5)=0 \Rightarrow \log\Big(\dfrac{x}{3}+2\Big)=\log(2x-5)$$$ Y así, basta con resolver: $$$\dfrac{x}{3}+2=2x-5 \Rightarrow \dfrac{x}{3}-2x=-5-2 \Rightarrow \dfrac{x-6x}{3}=7 \Rightarrow \dfrac{-5x}{3}=-7 \Rightarrow $$$ $$$\Rightarrow -5x=-21 \Rightarrow x=\dfrac{21}{5}$$$
b) En el caso de la segunda ecuación, se agrupan las incógnitas en el primer miembro y se deja el término independiente en el segundo: $$$\log(x+5)-1=\log(x-4) \Rightarrow \log(x+5)-\log(x-4)=1$$$ Ahora, el primer término puede agruparse por la propiedad del cociente de los logaritmos, con lo que: $$$\log\Big(\dfrac{x+5}{x-4}\Big)=1 \Rightarrow \dfrac{x+5}{x-4}=10^1$$$ Y así, basta con resolver: $$$x+5=10\cdot(x-4) \Rightarrow x+5=10x-40 \Rightarrow x-10x=-40-5 \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow -9x=-45 \Rightarrow x=\dfrac{-45}{-9}=5$$$
c) Finalmente, la tercera ecuación parece de segundo grado, pero al operar se verá que dicho grado se pierde.
Lo primero que se puede hacer es agrupar el primer miembro por la propiedad del producto de logaritmos: $$$\log(x+1)+\log(x-3)=\log x^2 \Rightarrow \log[(x+1)\cdot(x-3)]=\log x^2$$$ En este punto, los logaritmos se pueden eliminar para obtener una ecuación equivalente: $$$(x+1)\cdot(x-3)=x^2 \Rightarrow x^2-3x+x-3=x^2 \Rightarrow x^2-x^2-2x=3 \Rightarrow x=-\dfrac{3}{2}$$$
Para que la solución sea válida, los monomios afectados por logaritmos en la ecuación deberán ser números mayores que $$0$$. Se comprueba sustituyendo el valor de $$x$$ en el primero de ellos para ver si se cumple la regla: $$$x+1 \Rightarrow -\dfrac{3}{2}+1 \Rightarrow \dfrac{-3+2}{2}=-\dfrac{1}{2}$$$ El resultado es negativo, por lo que $$-\dfrac{3}{2}$$ no es solución de la ecuación. De modo que la última ecuación no tiene solución.
Solución:
a) $$x=\dfrac{21}{5}$$
b) $$x=5$$
c) No tiene solución.