Resolver las siguientes EDO's:
a) $$2y''-3y'+4y=0$$
b) $$2y^{(5)}-7y^{(4)}+12y'''+8y''=0$$
Desarrollo:
a) Se trata de una EDO lineal de orden n, homogénea a coeficientes constantes. Por lo tanto, calculemos su polinomio característico $$$p(\lambda)=2\lambda^2-3\lambda+4$$$ y calculemos sus raíces. $$$\lambda=\dfrac{3\pm\sqrt{9-4\cdot2\cdot4}}{4}=\dfrac{3\pm\sqrt{-23}}{4}=\dfrac{3}{4}\pm\dfrac{\sqrt{23}}{4}i$$$ Por lo tanto tenemos una raíz compleja y su conjugada. Por lo tanto, las funciones solución son: $$$y_1(x)=e^{\frac{3}{4}}\cos(\dfrac{\sqrt{23}}{4}x)$$$ $$$y_2(x)=e^{\frac{3}{4}}\sin(\dfrac{\sqrt{23}}{4}x)$$$ Toda solución se escribe: $$$y(x)=C_1\cdot e^{\frac{3}{4}}\cos(\dfrac{\sqrt{23}}{4}x)+C_2\cdot e^{\frac{3}{4}}\sin(\dfrac{\sqrt{23}}{4}x)$$$
b) Este caso es el mismo que el anterior. Por lo tanto, calculemos el polinomio característico: $$$p(\lambda)=2\lambda^5-7\lambda^4+12\lambda^3+8\lambda^2=\lambda^2(2\lambda^3-7\lambda^2+12\lambda+8)$$$ Sus raíces son:
-
$$\lambda=0$$ con multiplicidad $$2$$. Por lo tanto da lugar a las funciones $$y_1(x)=e^{0x}=1$$, $$y_2(x)=x\cdot e^{0x}=x$$.
-
$$\lambda=-\dfrac{1}{2}$$ simple. Por lo tanto da lugar a la función: $$y_3(x)=e^{-\frac{1}{2}x}$$.
- $$\lambda=2\pm2i$$ raíz simple con su conjugada. Por lo tanto dan lugar a las funciones: $$y_4(x)=e^{2x}\cos(2x)$$,$$y_5(x)=e^{2x}\sin(2x)$$.
De esta forma toda solución es combinación lineal de estas 5: $$$y(x)=C_1+C_2\cdot x+C_3\cdot e^{-\frac{1}{2}x}+C_4\cdot e^{2x}\cos(2x)+C_5\cdot e^{2x}\sin(2x)$$$
Solución:
a) $$y(x)=C_1\cdot e^{\frac{3}{4}}\cos(\dfrac{\sqrt{23}}{4}x)+C_2\cdot e^{\frac{3}{4}}\sin(\dfrac{\sqrt{23}}{4}x)$$
b) $$y(x)=C_1+C_2\cdot x+C_3\cdot e^{-\frac{1}{2}x}+C_4\cdot e^{2x}\cos(2x)+C_5\cdot e^{2x}\sin(2x)$$