Ejercicios de Derivabilidad y su relación con la continuidad

Desarrollo:

Para estudiar la derivabilidad en $$x=1$$ debemos hacer las derivadas laterales en $$x=1$$ y ver si sus valores existen y coinciden.

a) $$f(x)=x^3+x-2$$

$$$f'(0^-)=\lim_{\Delta x \to 0^-}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^-}\dfrac{(1+\Delta x)^3+(1+\Delta x)-2-1^3-1+2}{\Delta x}=$$$ $$$=\lim_{\Delta x \to 0^-}\frac{1+3\Delta x+3\Delta x^2+\Delta x^3+1+\Delta x-2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^-}\dfrac{\Delta x^3+3\Delta x^2+4\Delta x}{\Delta x}=$$$ $$$=\lim_{\Delta x \to 0^-}(\Delta x^2+3\Delta x+4)=4$$$

$$$f'(0^+)=\lim_{\Delta x \to 0^+}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^+}\dfrac{(1+\Delta x)^3+(1+\Delta x)-2-1^3-1+2}{\Delta x}=$$$ $$$=\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac{1+3\Delta x+3\Delta x^2+\Delta x^3+1+\Delta x-2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^+}\dfrac{\Delta x^3+3\Delta x^2+4\Delta x}{\Delta x}=$$$ $$$=\lim_{\Delta x \to 0^+}(\Delta x^2+3\Delta x+4)=4$$$

Los dos valores coinciden, pues sobrevive el término independiente $$4$$ que domina sobre los $$m$$ posible valores de $$\Delta x$$. Por lo tanto, esta función es derivable en $$x=1$$.

Como es derivable podemos afirmar que es continua.

b) $$f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}$$

$$$f'(0^-)=\lim_{\Delta x \to 0^-}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^-}\dfrac{\dfrac{1}{(1+\Delta x-1)^2}-\dfrac{1}{(1-1)^2}}{\Delta x}=$$$ $$$=\lim_{\Delta x \to 0^-}(\dfrac{\Delta x}{\Delta x^2}-\dfrac{\Delta x}{0})=-\infty$$$

$$$f'(0^+)=\lim_{\Delta x \to 0^+}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^+}\dfrac{\dfrac{1}{(1+\Delta x-1)^2}-\dfrac{1}{(1-1)^2}}{\Delta x}=$$$ $$$=\lim_{\Delta x \to 0^+}(\dfrac{\Delta x}{\Delta x^2}-\dfrac{\Delta x}{0})=+\infty$$$

Los dos valores no coinciden, o sea que la función no es derivable en $$x=1$$.

No podemos decir nada de la continuidad en $$x=1$$.

Solución:

La primera función es derivable y continua en $$x=1$$.

La segunda no es derivable en $$x=1$$.

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