Ejercicios de Cálculo de áreas del plano a partir del teorema de Green

Calcular el área delimitada por la curva cerrada llamada asteroide, parametrizada por: $$$\gamma(t)=\big( a\cos^3(t),a\sin^3(t) \big) \quad t\in[0,2\pi]$$$

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Desarrollo:

El área que queremos encontrar es la dibujada en el siguiente gráfico:

imagen

Este es un claro ejemplo de la utilidad del teorema de Green para calcular áreas de regiones limitadas por curvas. Además el problema ya nos da la parametrización de la curva. Como campo vectorial cogeremos $$F(x,y)=(0,x)$$.

De esta forma: $$$\text{Área}= \iint_D 1 \ dx \ dy=\iint_D \big( Q_x-P_y\big) \ dx \ dy= \int_C F \ dr = \int_0^{2\pi} F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) \ dt $$$

Calculemos, pues,

$$$\gamma'(t)=\big( -3a\cos^2(t)\sin(t),3a\sin^2(t)\cos(t) \big)$$$

Así:

$$$ \begin{array}{rl} \int_C F \ dr =& \int_0^{2\pi} F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) \ dt\\ =& \int_0^{2\pi} \big(0,a\cos^3(t)\big)\cdot\big(-3a\cos^2(t)\sin(t),3a\sin^2(t)\cos(t)\big) \ dt \\ =& \int_0^{2\pi}3a^2\sin^2(t)\cos^4(t) \ dt= 3a^2\int_0^{2\pi}\Big(\dfrac{1-\cos(2t)}{2}\Big)\Big(\dfrac{1+\cos(2t)}{2}\Big)^2 \ dt \\ =& \dfrac{3a^2}{8}\int_0^{2\pi}(1+\cos(2t))(1-\cos^2(2t)) \ dt \\ =& \dfrac{3a^2}{8}\int_0^{2\pi} (1-\cos^2(2t)+\cos(2t)-\cos^3(2t)) \ dt \\ =& \dfrac{3a^2}{8}\int_0^{2\pi} \Big( 1-\dfrac{1+\cos(4t)}{2}+\cos(2t)-\cos(2t)+\cos(2t)\sin^2(2t) \Big) \ dt \\ =& \dfrac{3a^2}{8}\int_0^{2\pi} \dfrac{1}{2} \ dt =\dfrac{3a^2\pi}{8} \end{array}$$$

Solución:

$$\text{Área}=\dfrac{3a^2\pi}{8}$$

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