Encontrar las diferentes asíntotas que presentan las siguientes funciones:
a) $$f(x)=e^x-1$$
b) $$f(x)=\dfrac{e^{-x^2}}{x^2+1}$$
c) $$f(x)=\dfrac{x^2-2x}{x+1}$$
Desarrollo:
Notaremos: AH = Asíntota Horizontal, AV = Asíntota Vertical y AO = Asíntota Oblícua.
a) AH:
$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}e^x-1=+\infty$$
$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}e^x-1=-1$$
por lo que tenemos una asíntota horizontal en $$y = -1$$.
AV: No presenta asíntotas verticales por queno tenemos problemas por divisiones por cero.
AO: No presenta asíntotas oblicuas por que no tenemos división de polinomios.
b) AH:
$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{e^{-x^2}}{x^2+1}=0$$
$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{e^{-x^2}}{x^2+1}=0$$
por lo que tenemos una asíntota horizontal en $$y = 0$$.
AV: No presenta ni asíntotas verticales por que el denominador no se anula nunca.
AO: No presenta asíntotas oblícuas porque no tenemos una división de polinomios.
c) AH:
$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^2-2x}{x+1}=+\infty$$
$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{x^2-2x}{x+1}=-\infty$$
por lo que no tenemos asíntota horizontal.
AV: Tendremos asíntotas verticales donde el denominador se anule: $$x+1=0\Rightarrow x=-1$$
AO: Tendremos asíntotas oblícuas si los siguientes límites son finitos:
$$\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}= \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2-2x}{x(x+1)}=1$$
$$\displaystyle \begin{array}{rl} b=&\lim_{x\rightarrow \infty}(f(x)-mx)= \lim_{x\rightarrow \infty} \Big( \frac{x^2-2x}{x+1} -x\Big) \\ = & \lim_{x\rightarrow \infty} \Big( \frac{x^2-2x}{x+1} -\frac{x(x+1)}{x+1}\Big) = \lim_{x\rightarrow \infty} \Big( \frac{x^2-2x-x^2-x}{x+1} \Big) \\ = & \lim_{x\rightarrow \infty} \Big( \frac{-3x}{x+1} \Big) =-3 \end{array}$$
Por lo que tenemos una asíntota oblícua: $$y=x-3$$.
Solución:
a) Tiene asíntota horizontal $$y=-1$$. No tiene asíntotas verticales ni oblícuas.
b) Tiene asíntota horizontal $$y=0$$. No tiene asíntotas verticales ni oblícuas.
c) Tiene asíntota vertical en $$x=-1$$ y asíntota oblícua en $$y=x-3$$. No tiene asíntotas horizontales.