Octaedro regular: Área y volumen

Dificultad: 4

El octaedro es un poliedro de ocho caras que es regular cuando todas las caras son triángulos equiláteros.

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Las siguientes expresiones permiten encontrar el área y el volumen del octaedro
$$$A=2 \cdot \sqrt{3} \cdot a^2 \\ V=\dfrac{\sqrt{2}}{3} a^3$$$

a) Definir las dimensiones de un octaedro (arista $$a$$).

b) Imaginar que este octaedro es un iceberg, con su corte en forma de cuadrado (base de las dos pirámides que lo forman) paralelo al mar. Una pequeña pirámide cuadrada de altura $$h'$$ queda fuera del agua, y el octaedro entero tiene altura $$2 \cdot h$$ ($$h$$ es la altura de cada una de las dos pirámides que componen el octaedro). Encontrar la altura de medio octaedro, $$h$$.

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c) Decidir un porcentaje razonable de $$h'$$ respecto a $$h$$ para un iceberg, y encuentre el parámetro $$a'$$.

d) ¿Qué porcentaje del volumen del octaedro esta fuera del agua?

e) ¿Cuál es el área de las caras completamente sumergidas del iceberg (las cuatro inferiores)?

Veamos la solución.

a) Se define una arista $$a = 10 \ m$$, razonable para que el octaedro sea un iceberg.

b) Para encontrar $$h$$, se encuentra primero la altura del triángulo de una de las caras laterales $$Ap$$. $$$10^2= Ap^2+\Big(\dfrac{10}{2}\Big)^2 \\ Ap= 5\sqrt{3}$$$

Aplicando de nuevo el teorema de Pitágoras, ahora con el triángulo cuyos catetos son $$h$$ y $$\dfrac{a}{2}$$, y cuya hipotenusa es $$Ap$$, se obtiene la altura de medio octaedro ,$$h$$: $$$Ap^2= h^2+\Big(\dfrac{a}{2}\Big)^2 \\(5\sqrt{3})^2=h^2+5^2 \\ h= \sqrt{75-25}=5\sqrt{2}= 7,07 \ m $$$

c) Se define $$h' =0,2 \cdot h=1,41 \ m$$, lo que resulta razonable teniendo en cuenta que la mayor parte de un iceberg siempre está sumergida.

Se aplica el teorema de Tales para encontrar la arista de la pirámide que queda fuera del agua: $$$\dfrac{a'}{a}=\dfrac{h'}{h}=0, 2 \\ a'=2 \ m$$$

d) Se calcula, en primer lugar, el volumen total del octaedro: $$$V=\dfrac {\sqrt{2}}{3} \cdot a^3$$$ donde $$a = 10 \ m$$. $$$V_{octaedro}=471,4 \ m^3$$$

Seguidamente, se calcula el volumen de la pirámide que queda fuera del agua: $$$V_{fuera \ del \ agua}=\dfrac{a'^2 \cdot h'}{3}= 1,88 \ m^3$$$ El porcentaje del volumen fuera del agua es $$$\dfrac{1,88}{471,4}\cdot 100= 0,39 \%$$$

e) Basta con calcular el área del octaedro y dividirla por $$2$$: $$$\dfrac{A_{octaedro}}{2}=\dfrac{1}{2}(2 \sqrt{3} \cdot a^2) $$$ donde $$a=10$$ $$$\dfrac{A_{octaedro}}{2}=173,2 \ m^2$$$

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