Elementos de la raíz cuadrada y algoritmo de cálculo

Elementos de la raíz cuadrada

Cuando resolvemos la raíz cuadrada con su método de resolución usual debemos conocer las partes en las que se divide la raíz cuadrada a medida que se procede. Las partes de las que se compone son:

  1. Radical, es el símbolo que indica que es una raíz cuadrada.
  2. Radicando, es el número del que se obtiene la raíz cuadrada.
  3. Raíz, es propiamente la raíz cuadrada del radicando.
  4. Renglones auxiliares, nos ayudaran a resolver la raíz cuadrada.
  5. Resto, es el número final del proceso para resolver la raíz cuadrada.

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Cálculo de la raíz cuadrada paso a paso

Cuando se calcula la raíz cuadrada de un número se debe ser consciente que el resultado puede no ser un número natural, sino un número decimal. Estudiaremos el cálculo de la raíz cuadrada con solución números naturales.

Para calcular la raíz cuadrada de un número de varias cifras se procede así:

  1. Se divide el número en grupos de dos cifras empezando por la derecha.

  2. Se calcula el número que multiplicado por él mismo es más próximo pero no excede del primer grupo de cifras de la izquierda y así se obtiene la primera cifra de la raíz que ponemos a la derecha del radicando, en el primer renglón auxiliar. Entonces el cuadrado de esta cifra se resta del primer grupo.

  3. A la derecha del resto obtenido se escribe el segundo grupo y se separa la cifra de la derecha.

  4. El número que queda a la izquierda de la cifra separada se divide por el doble de la raíz obtenida. El cociente se escribe a la derecha del divisor y la parte entera del número que resulta de la división se multiplica por el mismo cociente. Si este producto se puede restar del dividendo seguido de la cifra separada, el cociente es la cifra de la raíz, sino es así se prueba con una cifra inferior.

  5. Se repiten los pasos 3º y 4º hasta que no quede ningún grupo del radicando por bajar.

Hagámoslo primero con una cifra que sea un cuadrado perfecto:

Busquemos la raíz de $$582.169$$ que es $$763$$ ya que $$763\cdot763=582.169$$.

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Paso a paso sería:

1) Se separan de $$2$$ en $$2$$ las cifras del número $$582169$$, es decir: $$58 \ \ 21 \ \ 69$$. Lo escribiremos así:

58.21.69  

2) Se busca un número que elevado al cuadrado dé próximo a $$58$$, en este caso el número es $$7$$ dado que $$7\cdot7=49$$. Lo escribiremos:

58.21.69 7
  7·7=49

3) Se resta ese resultado de $$58$$ y por lo tanto queda: $$58-49=9$$ y se bajan las dos siguientes cifras que son $$21$$. Y se separa la última cifra que es $$1$$. Lo escribimos así:

58.21.69 7
-49 7·7=49
92.1  

4) Ponemos el doble de $$7$$ (es decir $$14$$) en el tercer renglón auxiliar, y se divide el número que queda a la izquierda de la cifra separada (que era $$1$$) entre $$14$$.

En este caso es $$92:14$$ que da el número entero $$6$$ como el más próximo. (Ponemos el $$6$$ al lado del $$7$$ del primer renglón.)

Restamos, bajamos las siguientes dos cifras y separamos la última (ahora un $$9$$). Escrito será:

58.21.69 76
-49 7·7=49
92.1 7·2=14
-876 146·6=876
456.9  

5) Hacemos lo mismo que en el paso anterior. Es decir, multiplicamos $$76$$ por dos (hacemos el doble) y se divide el $$456$$ entre ese doble (que es $$152$$) y que da $$3$$.

Cuando se restan da cero y por lo tanto no hace falta seguir.

Ponemos el $$3$$ en el primer renglón, y ya se ha encontrado la raíz buscada: $$763$$.

58.21.69 763
-49 7·7=49
92.1 7·2=14
-876 146·6=876
456.9 76·2=152
-4569 1523·3=4569
0  

La raíz cuadrada de $$582.169$$ es $$763$$.

Veamos ahora un ejemplo de un número que no es un cuadrado perfecto, sino un número decimal:

La raíz de $$5836,369$$

1) Se separa el número del radicando en grupos de dos cifras. La separación se hace desde el signo de decimal (si lo hay) hacia la derecha y hacia la izquierda.

Si en el lado de los decimales no hay un número par de cifras, es evidente que queda una suelta: en ese caso, le añadimos un cero.

Si en el lado de los enteros nos quedara un número suelto, se quedaría así. En nuestro caso debemos añadir un cero al lado del $$9$$. Escrito sería:

58.36,36.90  

2) Buscamos un número que multiplicado por sí mismo de como resultado el número que coincida o que más se aproxime por debajo a $$58$$. El resultado no puede ser mayor que $$58$$.

En este caso el número sería el $$7$$, porque $$7\cdot7=49$$. Lo escribiremos:

58.36,36.90 7
  7·7=49

3) Restamos $$49$$ al primer grupo de dos cifras de la raíz, que nos da $$9$$. Bajamos las siguientes $$2$$ cifras, es decir $$36$$. Ahora separamos la última cifra, el $$6$$. Lo escribiremos:

58.36,36.90 7
-49 7·7=49
93.6  

4) Ponemos el doble de $$7$$ (es decir $$14$$) en el tercer renglón auxiliar, y se divide el número que queda a la izquierda de la cifra separada (que era $$6$$) entre $$14$$. En este caso es $$93:14$$ que da el número entero $$6$$ como el más próximo. (Ponemos el $$6$$ al lado del $$7$$ del primer renglón.)

Restamos, bajamos las siguientes dos cifras y separamos la última. En este caso bajamos $$36$$.

Puesto que éstas están a la derecha del punto decimal, en el primer renglón donde vamos escribiendo la raíz cuadrada se le pone un punto decimal también. Escrito será:

58.36,36.90 76,
-49 7·7=49
93.6 7·2=14
-876 146·6=876
603.6  

5) Ahora, hacemos lo mismo que en el paso anterior. Es decir, multiplicamos $$76$$ por dos (hacemos el doble) y se divide el $$603$$ entre ese doble (que es $$152$$) y que da $$3,9$$ por lo que tomando la parte entera, es $$3$$.

La operación a realizar por lo tanto es $$1523\cdot3$$, escribimos el resultado debajo del último resto que teníamos y hacemos la diferencia.

Bajamos después las siguientes dos cifras. También ponemos el $$3$$ en el primer renglón. Escrito es:

58.36,36.90 76,3
-49 7·7=49
93.6 7·2=14
-876 146·6=876
603.6 76·2=152
-4569 1523·3=4569
1467.90  

6) Volvemos a hacer lo mismo. Multiplicamos la raíz que tenemos escrita por el momento $$(76,3)$$ por $$2$$ pero ignorando el punto decimal, es decir $$763\cdot2=1526$$.

El resultado se agrega al siguiente renglón auxiliar, y se vuelven a dividir los primeros cuatro números del residuo $$(1467)$$ entre el resultado de la multiplicación y se obtiene el número $$9$$ como primera cifra que no es cero de la división.

El nueve se pone en el renglón de la raíz y se multiplica $$9$$ por $$15269$$, lo que da $$137421$$ que es la cifra que debemos restar al último resto que era $$146790$$ que da $$9369$$.

58.36,36.90 76,3
-49 7·7=49
93.6 7·2=14
-876 146·6=876
603.6 76·2=152
-4569 1523·3=4569
1467.90 763·2=1526
-137421 15269·9=137421
9369  

En este momento, podemos escribir que aproximadamente se tiene que la raíz cuadrada de $$5836,369$$ es $$76,39$$ con un residuo de $$9369$$.

La operación anterior utilizada como ejemplo no está completa. Si la continuáramos daría como resultado $$76,391321$$. El proceso se va repitiendo hasta que el resto es cero. Pero observamos que la raíz cuadrada efectivamente no es un entero, dado que $$5836,369$$ no es un cuadrado perfecto.

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