Producto, cociente y suma de raíces cuadradas

Producto y cociente

La raíz cuadrada del producto de dos números es el producto de las dos raíces cuadradas de dichos números, es decir: $$$\sqrt{x\cdot y}=\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}$$$

$$\sqrt{36}=\sqrt{4\cdot9}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{9}=2\cdot3=6$$

o también

$$\sqrt{25\cdot81}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{81}=5\cdot9=45$$

La raíz cuadrada de un cociente es el cociente de las raíces cuadradas, es decir: $$$\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$$$

$$\sqrt{\dfrac{16}{4}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}}=\dfrac{4}{2}=2$$

o también

$$\sqrt{\dfrac{49}{64}}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}}=\dfrac{7}{8}$$

Estas dos propiedades permiten facilitar el cálculo de raíces de números que son producto de dos números que son cuadrados perfectos.

Si queremos calcular la raíz de $$11.664$$, dándonos cuenta que $$144\cdot81=11.664$$ podemos hacerlo fácilmente.

$$\sqrt{11.664}=\sqrt{144\cdot81}=\sqrt{144}\cdot\sqrt{81}=12\cdot9=108$$

Y también facilitan el cálculo de raíces de cocientes. Por ejemplo,

$$\sqrt{\dfrac{784}{625}}=\dfrac{\sqrt{784}}{\sqrt{625}}=\dfrac{\sqrt{16\cdot49}}{\sqrt{25\cdot25}}=\dfrac{\sqrt{16}\sqrt{49}}{\sqrt{25}\sqrt{25}}=\dfrac{4\cdot7}{5\cdot5}=\dfrac{28}{25}$$

Suma de raíces cuadradas

Debemos ser conscientes que la raíz cuadrada de la suma de dos números no es lo mismo que la suma de las raíces de dichos números, es decir: $$$\sqrt{9+4}\neq \sqrt{9}+\sqrt{4}$$$ porque si lo calculamos tenemos: $$$\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$$$ por un lado y $$$\sqrt{9}+\sqrt{4}=3+2=5$$$ por otro.

Así pues hemos obtenido que: $$\sqrt{13}=5$$ cosa que es imposible dado que $$5\cdot5$$ no es $$13$$.

Cuando se tiene una expresión del tipo: $$\sqrt{x}+\sqrt{y}$$ NO SE PUEDEN JUNTAR las raíces y escribir $$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}$$.

Lo que sí se puede hacer es que dada una expresión del tipo $$a\sqrt{x}+b\sqrt{x}$$ se pueden sumar (y restar también) los coeficientes.

$$5\sqrt{17}-2\sqrt{17}=3\sqrt{17}$$

Veamos otro ejemplo de cálculo:

Queremos calcular

$$5\dfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{16}}+7\sqrt{21}-\sqrt{64}+2\sqrt{21}$$

Primero empleando los cuadrados perfectos más comunes tenemos que $$\sqrt{144}=12$$, $$\sqrt{16}=4$$, $$\sqrt{64}=8$$ y lo sustituimos en la expresión que queremos resolver:

$$5\dfrac{12}{4}+7\sqrt{21}-8+2\sqrt{21}$$

Ahora efectuamos las sumas entre los números que tienen $$\sqrt{21} $$ por un lado y los que no la tienen por el otro.

$$\Big(5\dfrac{12}{4}-8\Big)+(7+2)\sqrt{21}$$

Que en calcularlo nos da:

$$7+9\sqrt{21}$$

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