El sistema sexagesimal y sus operaciones

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en $$60$$ unidades más pequeñas. En otras palabras, se utiliza la base $$60$$.

Este sistema es el utilizado para medidas de tiempo y de ángulos.

$$$1h \rightarrow 60 \ \mbox{min} \rightarrow 60\cdot 60=3.600 \ \mbox{s}$$$ $$$1^\circ \rightarrow 60' \rightarrow 60\cdot 60=3.600''$$$

Operaciones con números sexagesimales

Suma

  • Paso 1

Colocar los dos números a sumar de la siguiente forma, y sumar columna por columna:

$$\begin{eqnarray} & & 38^\circ \ 24' \ 55'' \\\\ &+ & \underline{40^\circ \ 49' \ 17''} \\\\ & & 78^\circ \ 73' \ 72'' \end{eqnarray}$$

  • Paso 2

Si la suma de segundos es superior a $$60$$, dividir el resultado por $$60$$; el resto serán los segundos y el cociente se sumará a los minutos.

$$\dfrac{72}{60}=1+\dfrac{12}{60}$$

Es decir, el resto es $$12$$ y el cociente $$1$$. Entonces, el resultado se escribe:

$$78^\circ \ (73+1)' \ 12'' = 78^\circ \ 74' \ 12''$$

  • Paso 3

Repetir el mismo procedimiento para los minutos:

$$\dfrac{74}{60}=1+\dfrac{14}{60}$$

Entonces,

$$78^\circ \ 74' \ 12'' = 79^\circ \ 14' \ 12''$$

Resta

  • Paso 1

Colocar los dos números a restar uno encima del otro, las horas sobre las horas (o los grados sobre los grados), los minutos sobre los minutos...

$$\begin{eqnarray} & & 52^\circ \ 23' \ 18'' \\\\ & - & \underline{43^\circ \ 49' \ 25''} \end{eqnarray}$$

Si la resta de segundos es menor que cero se suman $$60''$$ en los segundos y se resta $$1'$$ en los minutos del número de arriba,

$$52^\circ \ 23' \ 18'' = 52^\circ \ 22' \ 78''$$

$$\begin{eqnarray} & & 52^\circ \ 22' \ 78'' \\\\ & - & \underline{43^\circ \ 49' \ 25''} \\\\ & &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 23'' \end{eqnarray}$$

  • Paso 2

Repetir el mismo procedimiento con los minutos

$$\begin{eqnarray} & & 51^\circ \ 82' \ 78'' \\\\ &- & \underline{43^\circ \ 49' \ 25''} \\\\ & & \ \ 8^\circ \ 33' \ 23'' \end{eqnarray}$$

Nota: Se resta siempre el mayor número menos el menor. Si se están tratando con ángulos se podría dar el caso de que se deba calcular un ángulo negativo (se hace la resta con valor mayor que cero y se cambia el signo).

Si se opera con medidas temporales no tiene mucho sentido obtener tiempos negativos. No obstante en la resolución de un problema en el que se defina una referencia de tiempo $$t=0$$, se puede obtener un tiempo negativo para un instante anterior.

Multiplicación por un número

  • Paso 1

Multiplicar segundos, minutos y horas (o grados) por el número:

$$\begin{eqnarray} & & 51^\circ \ \ \ 82' \ \ \ 78'' \\\\ & \times & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5 \\\\ & & \overline{255^\circ \ 410' \ 390''} \end{eqnarray}$$

  • Paso 2

Si se obtienen más de $$60$$ segundos, dividir por $$60$$ y el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos

$$\dfrac{390}{60}=6+\dfrac{30}{60}$$

$$255^\circ \ 410' \ 390'' = 255^\circ \ 416' \ 30''$$

  • Paso 3

Repetir el mismo procedimiento para los minutos,

$$\dfrac{416}{60}=\fbox{6}+\dfrac{\fbox{56}}{60}$$

$$(255+\fbox{6})^\circ \ \fbox{56}' \ 30'' = 261^\circ \ 56' \ 30''$$

División por un número

Se pretende dividir $$37^\circ \ 48' \ 25''$$ por $$5$$

  • Paso 1

Se empiezan dividiendo las horas (o grados) por el número:

$$\dfrac{37}{5}=7+\dfrac{2}{5}$$

El cociente, $$7$$, son las horas y el resto multiplicado por $$60$$, $$(2\times60)$$, se añadirá a los minutos.

  • Paso 2

Se repite el mismo procedimiento con los minutos,

$$48'+120'=168'$$

$$\dfrac{168}{5}=33+\dfrac{3}{5}$$

$$33$$ serán los minutos finales, y el resto multiplicado por $$60$$ se añadirá $$(3\times60)$$ a los segundos.

  • Paso 3

Por último, se repite el mismo procedimiento con los segundos,

$$25''+180''=205''$$

$$\dfrac{205}{5}=41$$

Entonces, el resultado final será:

$$7^\circ \ 33' \ 41''$$

Nota: La última división podría dar un resto no nulo. En tal caso, los segundos se expresarían con decimales.

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