Determinación gráfica del dominio y de la imagen

Para determinar el dominio y el recorrido de una función a partir de su gráfica, nos fijaremos en todos los pares de números $$(x, y)$$ representados.

  • Un número real $$x = a$$ es del dominio de una función si y sólo si la recta vertical $$x = a$$ corta la gráfica de la función en algún punto.
  • Un número real $$y = b$$ es de la imagen de una función si y sólo si la recta horizontal $$y = b$$ corta la gráfica de la función en algún punto.

Determinad el dominio y la imagen de la siguiente función $$f$$ definida a trozos:

imagen

Observamos, que podemos deducir de la gráfica que la función no es continua. Por la izquierda la función es una recta de pendiente $$-1$$. Por la derecha tenemos una recta horizontal $$y = 1$$.

Así, el dominio será el conjunto de los números reales exceptuando el trozo en que la función no está definida dado por el intervalo $$[2, 3)$$.

Por tanto, $$Dom (f) = \mathbb{R}-[2,3)=(-\infty,2) \cup [3,+\infty)$$.

Por otro lado se observa claramente que el recorrido de la función es el conjunto de los reales $$x> 0$$.

Así, $$Im (f) = (0,+\infty)=\mathbb{R}^+$$

Por último, presentamos la expresión analítica de la función:

$$$f(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} -x & \mbox{ if } & x < 0 \\ 1 & \mbox{if} & x=0 \\ x & \mbox{if} & 0 < x < 2 \\ 1 &\mbox{if} & x\geq 3 \end{array} \right.$$$

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