Estudiar el crecimiento/decrecimiento en $$x=0$$ de las siguientes funciones.
a) $$y=x^3$$
b) $$y= \left\{ \begin{array} {rcl} 0 & \mbox{ if } & x \leq 0 \\ -x & \mbox{ if } & x>0 \end{array}\right.$$
Desarrollo:
a) Véase el gráfico
Al mirar la gráfica vemos que es una función creciente, si bien en $$x=0$$ se observa un tramo aparentemente liso. ¿Se trata, pues, de una función estrictamente creciente en $$x=0$$?
Vayamos a calcularlo analíticamente. Para ello calculemos la derivada: $$$y'=3x^2$$$ Veamos cual es el signo de la derivada en los puntos situados en un entorno próximo a $$x=0$$.
Se ve que para cualquier valor de $$x$$ (diferente de cero) la derivada es positiva. Por lo tanto todos los puntos del entorno de $$x=0$$ tiene derivada positiva. Esto significa que la función es estrictamente creciente en $$x=0$$.
b) Véase la derivada en valores próximos a $$x=0$$.
Para valores negativos de $$x$$, la derivada $$y'=0$$.
Para valores positivos de $$x$$, la derivada $$y'=-1$$.
Por lo tanto, $$y'\leq0$$ en un entorno próximo a $$x=0$$, y por lo tanto la función es decreciente en $$x=0$$ (no es estrictamente decreciente!)
Solución:
a) Estrictamente creciente
b) Decreciente