La idea de función creciente o decreciente es básicamente intuitiva, aunque debe saberse formular matemáticamente. Véanse los siguientes gráficos:
Espontáneamente uno diría que el primer gráfico corresponde a una función creciente, mientras que el segundo corresponde a una función decreciente.
Véanse ahora los dos siguientes gráficos:
En este ejemplo uno puede todavía diferenciar entre qué gráfica representa una función creciente y cual una decreciente. Sin embargo uno puede preguntarse también qué ocurre en los tramos planos (o de pendiente nulo).
Cada una de las cuatro situaciones expuestas anteriormente son aparentemente distintas, y por ello deben definirse correctamente. Para ello utilizamos el lenguaje matemático.
Función estrictamente creciente (Gráfico 1)
Una función es estrictamente creciente en un punto cualquiera (que llamamos $$a$$) cuando se cumple la siguiente propiedad:
La función $$f$$ es estrictamente creciente en $$a \Longleftrightarrow{ \exists{E(a)}}$$ tal que $$\forall{x} \in E(a)$$ se cumple: $$$\begin{array}{rcl} x>a & \Longrightarrow & f(x)>f(a) \\ x < a & \Longrightarrow & f(x) < f(a) \end{array}$$$
Lo cual se lee como sigue: La función $$f$$ es estrictamente creciente en $$a$$ si, y solo si, existe un entorno de $$a$$ tal que para cualquier $$x$$ que pertenezca a ese entorno se cumple que si $$x$$ es estrictamente mayor que $$a$$ entonces $$f(x)$$ es estrictamente mayor que $$f(a)$$, y que si $$x$$ es estrictamente menor que $$a$$ entonces $$f(x)$$ es menor que $$f(a)$$.
Claramente la idea de crecimiento estricto es más sencilla que su definición formal.
Función estrictamente decreciente (Gráfico 2)
Una función es estrictamente decreciente en un punto cualquiera $$a$$ cuando se cumple la siguiente propiedad:
La función $$f$$ es estrictamente decreciente en $$a \Longleftrightarrow {\exists E(a)}$$ tal que $$\forall{x} \in E(a)$$ se cumple: $$$\begin{array} {rcl} x>a & \Longrightarrow & f(x) < f(a) \\ x < a & \Longrightarrow & f(x)>f(a)\end{array}$$$
Lo cual se lee como sigue: La función $$f$$ es estrictamente creciente en $$a$$ si, y solo si, existe un entorno de $$a$$ tal que para cualquier $$x$$ que pertenezca a ese entorno se cumple que si $$x$$ es estrictamente mayor que $$a$$ entonces $$f(x)$$ es estrictamente menor que $$f(a)$$, y que si $$x$$ es estrictamente menor que $$a$$ entonces $$f(x)$$ es mayor que $$f(a)$$.
Función creciente (Gráfico 3)
Las dos situaciones expuestas hasta el momento son claramente las opciones más restrictivas.
En los gráficos iniciales se ha visto, sin embargo, algún otro caso. En el gráfico, por ejemplo, la función en ningún momento decrece, aunque tampoco es estrictamente creciente, pues existe un intervalo (el trozo de pendiente nulo) que no cumple la definición. Véase pues la definición de función creciente.
Una función es creciente en un punto cualquiera $$a$$ cuando se cumple la siguiente propiedad:
La función $$f$$ es creciente en $$a \Longleftrightarrow {\exists E(a)}$$ tal que $$\forall{x} \in E(a) $$ se cumple: $$$\begin{array}{rcl} x < a & \Longrightarrow & f(x) \geq f(a) \\ x < a & \Longrightarrow & f(x) \leq f(a) \end{array}$$$
Lo cual se lee como sigue: La función $$f$$ es creciente en $$a$$ si, y solo si, existe un entorno de $$a$$ tal que para cualquier $$x$$ que pertenezca a ese entorno se cumple que si $$x$$ es estrictamente mayor que $$a$$ entonces $$f(x)$$ es mayor o igual que $$f(a)$$, y que si $$x$$ es estrictamente menor que $$a$$ entonces $$f(x)$$ es menor o igual que $$f(a)$$.
El símbolo $$=$$ da una versión menos restrictiva de lo que exigíamos a una función para ser estrictamente creciente.
Función decreciente (Gráfico 4)
Seguramente ya se puede intuir cual será la definición que sigue, la de $$f$$ una función decreciente.
Una función es decreciente en un punto cualquiera $$a$$ cuando se cumple la siguiente propiedad:
La función $$f$$ es decreciente en $$a \Longleftrightarrow \exists E(a)$$ tal que $$\forall{x} \in E(a)$$ se cumple: $$$\begin{array}{rcl} x>a & \Longrightarrow & f(x) \leq f(a) \\ x < a & \Longrightarrow & f(x) \geq f(a) \end{array}$$$
Lo cual se lee como sigue: La función $$f$$ es decreciente en $$a$$ si, y solo si, existe un entorno de $$a$$ tal que para cualquier $$x$$ que pertenezca a ese entorno se cumple que si $$x$$ es estrictamente mayor que $$a$$ entonces $$f(x)$$ es menor o igual que $$f(a)$$, y que si $$x$$ es estrictamente menor que $$a$$ entonces $$f(x)$$ es mayor o igual que $$f(a)$$.
Por suerte existe una manera abreviada de escribir estas definiciones utilizando el concepto de derivada.
- Crecimiento en $$a$$: $$f'(a)\geq 0$$
- Decrecimiento en $$a$$: $$f'(a)\leq 0$$
(O su versión más restrictiva para crecimiento y decrecimiento estricto, con los símbolos $$>$$ y $$<$$).