Teorema del residu
El residu de dividir un polinomi $$p(x)$$ per un altre de la forma $$x-a$$, coincideix amb el valor de $$p(a)$$.
Fixem-nos que la divisió especificada compleix les hipòtesis de la tècnica de Ruffini.
Calcular el residu de la divisió $$\dfrac{p(x)}{q(x)}$$, sent $$p(x)=x^4+3x^2-x+4$$ i $$q(x)=x+2$$.
Apliquem el teorema del residu. Noteu que en aquest cas $$a=-2$$. $$$p(-2)=(-2)^4+3\cdot(-2)^2-(-2)+4=16+3\cdot4+2+4=34$$$
Per comprovar-ho utilitzem Ruffini:
| $$1$$ | $$0$$ | $$3$$ | $$-1$$ | $$4$$ | |
| $$-2$$ | $$-2$$ | $$4$$ | $$-14$$ | $$30$$ | |
| $$1$$ | $$-2$$ | $$7$$ | $$-15$$ | $$34$$ |
I efectivament, coincideix amb la solució anterior.
Calcular el residu de la divisió $$\dfrac{p(x)}{q(x)}$$, sent $$p(x)=x^5-2x^2+x+3$$ i $$q(x)=x+1$$.
Apliquem el teorema del residu. Noteu que en aquest cas $$a=-1$$. $$$p(-1)=(-1)^5-2\cdot(-1)^2+(-1)+3=-1-2-1+3=-1$$$
Per comprovar-ho utilitzem Ruffini:
| $$1$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$-2$$ | $$1$$ | $$3$$ | |
| $$-1$$ | $$-1$$ | $$1$$ | $$-1$$ | $$3$$ | $$-4$$ | |
| $$1$$ | $$-1$$ | $$1$$ | $$-3$$ | $$4$$ | $$-1$$ |
I efectivament, coincideix amb la solució anterior.
Teorema del factor
El seu enunciat és el següent:
Un polinomi $$p(x)$$ és divisible per un altre de la forma $$x-a$$ si, i només si, $$p(a)=0$$. En aquest cas, direm que $$a$$ és una arrel o zero del polinomi $$p(x)$$.
Calcular el residu de la divisió $$\dfrac{p(x)}{q(x)}$$, sent $$p(x)=x^5+2x^4-3x^3+x^2-1$$ i $$q(x)=x-1$$.
Apliquem el teorema del residu: $$$p(1)=1^5+2\cdot1^4-3\cdot1^3+1^2-1=0$$$
Comprovem el resultat per Ruffini:
| $$1$$ | $$2$$ | $$-3$$ | $$1$$ | $$0$$ | $$-1$$ | |
| $$1$$ | $$1$$ | $$3$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | |
| $$1$$ | $$3$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$1$$ | $$0$$ |
Efectivament, el residu és $$0$$. Així doncs, pel teorema del factor, la divisió de $$p(x)$$ per $$q(x)$$ és exacta.