Un nombre combinatori està format per dos nombres enters positius $$m$$ i $$n$$ que es col·loquen un sota l'altre i tancats per un parèntesi: $$$ \begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix}$$$
L'únic a tenir en compte, a més que han de ser nombres enters positius, és que el nombre de dalt no pot ser més petit que el de baix, és a dir que ha de ser sempre $$m\geqslant n$$.
Per escriure utilitzarem la pestanya de matrius a l'editor de fórmules, de manera que inserirem sempre una matriu que tingui 1 columna i 2 files.
Són números combinatoris: $$$ \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 24 \\ 7 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 45 \\ 23 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$$
La fórmula que permet trobar el valor d'un nombre combinatori és la següent: $$$\begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix}=\dfrac{m!}{n!\cdot(m-n)!}$$$
Vegem alguns exemples:
$$ \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}=\dfrac{5!}{2!\cdot(5-2)!}= \dfrac{5\cdot4\cancel{3\cdot2\cdot1}}{2\cdot1\cancel{3\cdot2\cdot1}}= \dfrac{20}{2}=10$$
$$ \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}=\dfrac{4!}{3!\cdot(4-3)!}= \dfrac{4\cancel{3\cdot2\cdot1}}{\cancel{3\cdot2\cdot1}\cdot1}=4$$
$$ \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}=\dfrac{4!}{4!\cdot0!}= 1$$
En l'últim cas hem utilitzat el fet que $$0! = 1$$.
En general obtindrem sempre el valor $$1$$ quan els dos nombres siguin iguals, és a dir que $$\begin{pmatrix} a \\ a \end{pmatrix}=1$$ ja que sempre tenim que:
$$$\begin{pmatrix} a \\ a \end{pmatrix}= \dfrac{a!}{a!(a-a)!}=\dfrac{a!}{a!\cdot0!}=1$$$
També és fàcil comprovar que $$\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}=1$$. $$$\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}= \dfrac{n!}{0!(n-0)!}=\dfrac{n!}{n!}=1$$$
I també que $$\begin{pmatrix} m \\ 1 \end{pmatrix}=m$$. $$$\begin{pmatrix} m \\ 1 \end{pmatrix}= \dfrac{m!}{1!(m-1)!}= \dfrac{m\cdot\cancel{(m-1)!}}{\cancel{(m-1)!}}=m$$$
Per tant per calcular nombres combinatoris hem de recordar les següents fórmules: $$$\begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix}=\dfrac{m!}{n!\cdot(m-n)!} \quad \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix}=1 \quad \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}=1 \quad \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}=n $$$