Números combinatorios

Un número combinatorio está formado por dos números enteros positivos $$m$$ y $$n$$ que se colocan uno debajo del otro y encerrados por un paréntesis: $$$ \begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix}$$$

Lo único a tener en cuenta, además de que deben ser números enteros positivos, es que el número de arriba no puede ser más pequeño que el de abajo, es decir que debe ser siempre $$m\geqslant n$$.

Para escribirlos utilizaremos la pestaña de matrices en el editor de fórmulas, de manera que insertaremos siempre una matriz que tenga 1 columna y 2 filas.

Son números combinatorios: $$$ \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 24 \\ 7 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 45 \\ 23 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$$

La fórmula que permite hallar el valor de un número combinatorio es la siguiente: $$$\begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix}=\dfrac{m!}{n!\cdot(m-n)!}$$$

Algunos ejemplos:

$$ \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}=\dfrac{5!}{2!\cdot(5-2)!}= \dfrac{5\cdot4\cancel{3\cdot2\cdot1}}{2\cdot1\cancel{3\cdot2\cdot1}}= \dfrac{20}{2}=10$$

$$ \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}=\dfrac{4!}{3!\cdot(4-3)!}= \dfrac{4\cancel{3\cdot2\cdot1}}{\cancel{3\cdot2\cdot1}\cdot1}=4$$

$$ \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}=\dfrac{4!}{4!\cdot0!}= 1$$

En el último caso hemos usado que $$0! = 1$$.

En general obtendremos siempre el valor $$1$$ cuando los dos números sean iguales, es decir que $$\begin{pmatrix} a \\ a \end{pmatrix}=1$$ ya que siempre se tiene que:

$$$\begin{pmatrix} a \\ a \end{pmatrix}= \dfrac{a!}{a!(a-a)!}=\dfrac{a!}{a!\cdot0!}=1$$$

También es fácil comprobar que $$\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}=1$$. $$$\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}= \dfrac{n!}{0!(n-0)!}=\dfrac{n!}{n!}=1$$$

Como también que $$\begin{pmatrix} m \\ 1 \end{pmatrix}=m$$. $$$\begin{pmatrix} m \\ 1 \end{pmatrix}= \dfrac{m!}{1!(m-1)!}= \dfrac{m\cdot\cancel{(m-1)!}}{\cancel{(m-1)!}}=m$$$

Por lo tanto para calcular números combinatorios debemos recordar las siguientes fórmulas: $$$\begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix}=\dfrac{m!}{n!\cdot(m-n)!} \quad \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix}=1 \quad \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}=1 \quad \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}=n $$$

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