Mètode d'igualació

$$$\left.\begin{array}{c} x+y=3 \\ x-y=-1 \end{array} \right\}$$$

Si s'aïlla $$x$$ en ambdues equacions és té:

$$$\left.\begin{array}{c} x=3-y \\ x=-1+y \end{array} \right\}$$$

Aquest sistema és equivalent al primer, ja que només han canviat de posició alguns termes. L'important és que com el valor de x ha de ser el mateix en ambdues equacions es poden igualar les expressions obtingudes, de manera que:

$$$3-y=-1+y$$$

Que és una equació lineal amb una incògnita el valor de la qual es pot esbrinar ràpidament:

$$$-y-y=-1-3 \Rightarrow -2y=-4 \Rightarrow y=\dfrac{-4}{-2}=2$$$

Per trobar el valor de $$x$$ només cal substituir el valor de $$y$$ en qualsevol de les equacions del sistema. Si es fa servir la primera:

$$$x=3-y \Rightarrow x=3-2=1$$$

De manera que la solució a aquest sistema és $$x=1, y=2$$.

$$$\left.\begin{array}{c} 2(x-1)+3(y+2)=-3 \\ x+5-2y=1-2x \end{array} \right\}$$$

A la primera equació cal desfer-se primer dels parèntesis, per a després deixar les incògnites en el primer membre i els termes independents en el segon:

$$$2x-2+3y+6=-3 \Rightarrow 2x+3y=-3+2-6 \Rightarrow 2x+3y=-7$$$

També cal operar a la segona equació per separar les incògnites dels termes independents:

$$$x-2y+2x=1-5 \Rightarrow 3x-2y=-4$$$

Amb les dues equacions obtingudes es planteja un sistema totalment equivalent al primer:

$$$\left.\begin{array}{c} 2x+3y=-7 \\ 3x-2y=-4 \end{array} \right\}$$$

Ara ja es pot aïllar la mateixa incògnita en les dues equacions, per exemple, la $$x$$:

$$$\left.\begin{array}{c} 2x=-7-3y \\ 3x=-4+2y \end{array} \right\} \Rightarrow \left.\begin{array}{c} x=\dfrac{-7-3y}{2} \\ x=\dfrac{-4+2y}{3} \end{array} \right\} $$$

S'igualen les expressions obtingudes i es resol l'equació:

$$$\dfrac{-7-3y}{2}=\dfrac{-4+2y}{3} \Rightarrow 3(-7-3y)=2(-4+2y) \Rightarrow$$$

$$$\Rightarrow -21-9y=-8+4y \Rightarrow -9y-4y=-8+21 \Rightarrow -13y=13 \Rightarrow \\ y=-\dfrac{13}{13}=-1$$$

Només queda substituir el valor obtingut en qualsevol de les equacions, per exemple, en la segona:

$$$x=\dfrac{-4+2(-1)}{3}=\dfrac{-4-2}{3}=\dfrac{-6}{3}=-2$$$

De manera que la solució a aquest sistema és $$x=-2, y=-1$$.