Un mètode per resoldre sistemes d'equacions lineals és l'anomenat mètode de reducció, que consisteix en simplificar el sistema realitzant operacions aritmètiques entre les equacions.
$$$\left.\begin{array}{c} x+y=2 \\ -x+y=-4 \end{array} \right\}$$$ Si a la segona equació s'hi suma la primera s'anul·la $$x$$, de manera que de seguida podem conèixer el valor de $$y$$. Es podria expressar l'operació de la següent manera: $$$\begin{eqnarray} & & -x+y=-4 \\ &+ & \underline{ \ x \ \ +y= \ 2} \\ & & \ 0 \ \ +2y=2 \end{eqnarray}$$$ L'equació resultant és equivalent a la segona, pel que pot intercanviar en el sistema inicial: $$$\left.\begin{array}{c} x+y=2 \\ 2y=-2 \end{array} \right\}$$$ D'aquesta nova segona equació es dedueix immediatament que: $$$2y=-2 \Rightarrow y=-\dfrac{2}{2}=-1$$$ Amb una de les incògnites resoltes ja només cal substituir el seu valor en la primera equació per conèixer $$x$$: $$$x+y=2 \Rightarrow x-1=2 \Rightarrow x=2+1=3$$$ De manera que la solució al sistema és $$x=3, y=-1$$.
Per comprovar que els càlculs són correctes es poden substituir els valors en cadascuna de les equacions i veure que, efectivament, es compleixen les igualtats.
De vegades serà necessari multiplicar o dividir tota una equació per un determinat nombre per aconseguir anul·lar una de les incògnites d'una equació.
$$$\left.\begin{array}{c} \dfrac{x}{2}+4y=\dfrac{3}{2} \\ -x-y=-4 \end{array} \right\}$$$ Es podria multiplicar la segona equació per $$4$$ i sumar-la a la primera, amb el que s'aconseguiria eliminar $$y$$, o dividir la primera equació entre $$2$$ per després sumar-la a la segona. Millor aquesta última opció, ja que s'eliminen els denominadors:
$$$\Big[\dfrac{x}{2}+4y=\dfrac{3}{2}\Big]\cdot2 \Rightarrow x+8y=3$$$
L'equació resultant és equivalent a la primera, així que es poden intercanviar en el sistema: $$$\left.\begin{array}{c} x+8y=3 \\ -x-y=-4 \end{array} \right\}$$$ La suma de les dues equacions permet conèixer el valor de $$y$$ directament: $$$\begin{eqnarray} & & \ x \ +8y=3 \\ &+ & \underline{-x -y= -4} \\ & & \ 0 \ \ +7y=-1 \end{eqnarray} \Rightarrow y=-\dfrac{1}{7}$$$ Ara es pot substituir aquest valor en la primera equació per trobar el de $$x$$: $$$x=3-8y \Rightarrow x=3-8\cdot(-\dfrac{1}{7}) \Rightarrow x=\dfrac{21+8}{7}=\dfrac{29}{7}$$$ Després, la solució al sistema és $$x=\dfrac{29}{7}, y=-\dfrac{1}{7}$$.
Recordatori:
El mètode de reducció o d'eliminació consisteix en realitzar operacions aritmètiques entre equacions per aconseguir equacions equivalents amb menys incògnites, més fàcils d'aïllar i calcular. Cal recordar que si es sumen, resten, multipliquen o divideixen tots els termes d'una equació amb un mateix número (diferent de $$0$$) s'obté una equació equivalent.