Interpolació d'Hermite

El polinomi d'Hermite és aquell que interpola una col·lecció de punts i el valor de les seves derivades en els punts que desitgem. És a dir, suposem que tenim $$(x_k,f_k)$$ i $$(x_k,f'_k)$$.

Llavors construïm la mateixa taula que en el mètode de Newton, posant a la primera columna els $$x_k$$, escrivint dues vegades el mateix punt si coneixem el valor de la derivada en aquest punt, i a la segona columna els valors de $$f$$ corresponent a la $$x$$ de la mateixa fila. És a dir, si coneixem el valor de $$f$$ en $$x_0$$ i el de la seva derivada també, escriurem dues vegades $$x_0$$ i al costat de cada un $$f_0$$. Per exemple,

$$x_0$$	$$f_0$$
$$x_0$$	$$f_0$$
$$x_1$$	$$f_1$$
$$x_1$$	$$f_1$$

A partir d'aquí procedim de la mateixa forma, però amb la diferència que definim $$f[x_i,x_i]=f'_i$$, el valor de la derivada en $$x_i$$.

$$x_0$$	$$f_0$$
		$$f'_0$$
$$x_0$$	$$f_0$$		$$f[x_0,x_0,x_1]$$
		$$f[x_0,x_1]$$		$$f[x_0,x_0,x_1,x_1]$$
$$x_1$$	$$f_1$$		$$f[x_0,x_1,x_1]$$
		$$f'_1$$
$$x_1$$	$$f_1$$

Per tant, si disposem de $$n +1$$ valors de la funció i $$n +1$$ valors de les derivades, el polinomi d'Hermite tindrà grau $$2n +1$$.

Considerem un exemple:

Suposem que volem calcular $$f\Big(\dfrac{1}{8}\Big)$$ on $$f(x)=\tan(\pi x)$$ a partir d'interpolació d'Hermite en $$0,\dfrac{1}{4}$$.

Per aconseguir-ho, escrivim una taula com en la interpolació de Newton però repetint cada dada de la que coneguem la seva derivada. És a dir:

$$0$$	$$0$$
		$$f'(0)=\pi$$
$$0$$	$$0$$		$$\dfrac{4-\pi}{\dfrac{1}{4}-0}=16-4\pi$$
		$$\dfrac{1-0}{\dfrac{1}{4}-0}=4$$		$$\dfrac{8\pi-16-16+4\pi}{\dfrac{1}{4}-0}=148\pi-128$$
$$\dfrac{1}{4}$$	$$1$$		$$\dfrac{2\pi-4}{\dfrac{1}{4}-0}=8\pi-16$$
		$$f'\Big( \dfrac{1}{4} \Big) = 2\pi$$
$$\dfrac{1}{4}$$	$$1$$

Procedint de la mateixa manera que en interpolació de Newton, obtenim: $$$ P_3(x)= \pi x +(16-4\pi)x^2+ (48\pi-128)x^2\Big( x-\dfrac{1}{4}\Big)$$$

Ara, $$$\tan\Big(\dfrac{\pi}{8}\Big)\approx P_3\Big(\dfrac{1}{8}\Big)=0.4018\dots$$$