Interpolación de Hermite

El polinomio de Hermite es aquel que interpola una colección de puntos y el valor de sus derivadas en los puntos que deseamos. Es decir, supongamos que tenemos $$(x_k,f_k)$$ y $$(x_k,f'_k)$$.

Entonces construimos la misma tabla que en el método de Newton, poniendo en la primera columna los $$x_k$$, escribiendo dos veces el mismo punto si conocemos el valor de la derivada en ese punto, y en la segunda columna los valores de $$f$$ correspondiente al $$x$$ e la misma fila. Es decir, si conocemos el valor de $$f$$ en $$x_0$$ y el de su derivada también, escribiremos dos veces $$x_0$$ y al lado de cada uno $$f_0$$. Por ejemplo,

$$x_0$$ $$f_0$$
$$x_0$$ $$f_0$$
$$x_1$$ $$f_1$$
$$x_1$$ $$f_1$$

A partir de aquí procedemos de la misma forma, pero con la diferencia que tenemos que definir $$f[x_i,x_i]=f'_i$$, el valor de la derivada en $$x_i$$.

$$x_0$$ $$f_0$$      
    $$f'_0$$    
$$x_0$$ $$f_0$$   $$f[x_0,x_0,x_1]$$  
    $$f[x_0,x_1]$$   $$f[x_0,x_0,x_1,x_1]$$
$$x_1$$ $$f_1$$   $$f[x_0,x_1,x_1]$$  
    $$f'_1$$    
$$x_1$$ $$f_1$$      

Por lo tanto, si disponemos de $$n +1$$ valores de la función y $$n +1$$ valores de las derivadas, el polinomio de Hermite tendrá grado $$2n +1$$.

Consideremos un ejemplo:

Supongamos que queremos calcular $$f\Big(\dfrac{1}{8}\Big)$$ donde $$f(x)=\tan(\pi x)$$ a partir de interpolación de Hermite en $$0,\dfrac{1}{4}$$.

Para conseguirlo, escribimos una tabla como en interpolación de Newton pero repitiendo cada dato del que conozcamos su derivada. Es decir:

$$0$$ $$0$$      
    $$f'(0)=\pi$$    
$$0$$ $$0$$   $$\dfrac{4-\pi}{\dfrac{1}{4}-0}=16-4\pi$$  
    $$\dfrac{1-0}{\dfrac{1}{4}-0}=4$$   $$\dfrac{8\pi-16-16+4\pi}{\dfrac{1}{4}-0}=148\pi-128$$
$$\dfrac{1}{4}$$ $$1$$   $$\dfrac{2\pi-4}{\dfrac{1}{4}-0}=8\pi-16$$  
    $$f'\Big( \dfrac{1}{4} \Big) = 2\pi$$    
$$\dfrac{1}{4}$$ $$1$$      

Procediendo de la misma forma que en interpolación de Newton, obtenemos: $$$ P_3(x)= \pi x +(16-4\pi)x^2+ (48\pi-128)x^2\Big( x-\dfrac{1}{4}\Big)$$$

Ahora, $$$\tan\Big(\dfrac{\pi}{8}\Big)\approx P_3\Big(\dfrac{1}{8}\Big)=0.4018\dots$$$