Unión e intersección de conjuntos

Unión de conjuntos

Dados dos conjuntos $$A$$ y $$B$$, la unión de $$A$$ y $$B$$ es $$$A\cup B=\{x\in U \ | \ x\in A \ ó \ x\in B\}$$$

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La unión de $$A$$ y $$B$$, es el conjunto de elementos $$x$$ de $$U$$, tal que, $$x$$ pertenezca a $$A$$, o que, $$x$$ pertenezca a $$B$$.

La operación de unión es asociativa, conmutativa y tiene elemento neutro:

  • Conmutativa: $$A\cup B=B\cup A$$

  • Asociativa: $$(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$$

  • Elemento neutro: $$A\cup\emptyset = \emptyset\cup A=A$$

La unión de dos conjuntos presentada anteriormente puede extenderse a varios conjuntos así la unión de un número finito de conjuntos viene dada por "uniones sucesivas": $$$A_1 \cup \ldots \cup A_n = ((A_1\cup A_2)\cup \ldots)\cup A_n)$$$

Debido a la propiedad asociativa cualquier orden de "emparejamientos" para realizar la unión conduce al mismo resultado. La unión de conjuntos puede generalizarse también para contemplar la unión de un número infinito de conjuntos $$A_k$$. En ese caso se define: $$$\cup_k A_k=\{ x\in U \ | \ \exists k \ : \ x\in A_k$$$

Intersección de conjuntos

Dados dos conjuntos $$A$$ y $$B$$, definimos su intersección como $$$A\cap B=\{ x\in U \ | \ x\in A \ y \ x\in B\}$$$

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La intersección de $$A$$ y $$B$$, es el conjunto de elementos $$x$$ de $$U$$, tal que, $$x$$ pertenezca a $$A$$, y que, $$x$$ pertenezca a $$B$$.

La operación intersección es conmutativa, asociativa, tiene elemento neutro e inverso:

  • Conmutativa: $$A\cap B=B\cap A$$

  • Asociativa: $$(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$$

  • Elemento neutro: $$A\cap\emptyset=\emptyset\cap A=\emptyset$$

  • Elemento inverso: $$A\cap A^c=A^c\cap A=\emptyset$$, donde $$A^c$$ representa el concepto "complementario".

A continuación, hay unas propiedades que se cumplen entre las intersecciones y las uniones.

$$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$

$$(B\cup C)\cap A=(B\cap A)\cup(C\cap A)$$ (propiedad distributiva respecto de la unión)

$$A\cup(A\cap B)=A=A\cap(A\cup B)$$ (ley de absorción)

La intersección de dos conjuntos puede extenderse a un número cualquiera de conjuntos $$$A_1\cap\ldots\cap A_n=((A_1\cap A_2)\cap\ldots)\cap A_n)$$$

Debido a la propiedad asociativa cualquier orden de "emparejamientos" para realizar la unión conduce al mismo resultado. La unión de conjuntos puede generalizarse también para contemplar la unión de un número infinito de conjuntos $$A_k$$. En ese caso se define $$$\cap_k A_k=\{x\in U \ | \ \forall k \ : \ x\in A_k\}$$$

Para terminar, dos conjuntos se llaman disjuntos si su intersección es nula.

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