Sucesos dependientes e independientes

Dificultad: 6

Sucesos dependientes e independientes

Decimos que los sucesos $$A$$ y $$B$$ son independientes si $$P(A/B)=P(A)$$, o de forma equivalente, si sustituimos en la fórmula anterior, si $$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$$

Si esto NO ocurre, entonces los sucesos $$A$$ y $$B$$ son dependientes.

Por ejemplo, si queremos calcular la probabilidad de que al tirar un dado salga un $$6$$, sabemos por la regla de Laplace, que la probabilidad es de $$\dfrac{1}{6}$$. Sin embargo, si disponemos de la información de que el resultado ha sido un número par, entonces tan sólo hay tres posibilidades: $$2, 4$$ y $$6$$, por lo que la probabilidad pasa a ser más alta, de $$\dfrac{1}{3}$$.

Consideremos los sucesos $$A=$$"sacar un $$6$$", $$B=$$"sacar un número par".

Hemos razonado que es lógico que si sabemos que ha salido par, entonces la probabilidad de que haya salido un seis es superior a la que sería si no dispusiéramos de esta información.

Comprobémoslo:

Sabemos que $$P(B) = \dfrac{1}{2}$$, por la regla de Laplace, y

$$$P(A\cap B)=\mbox{"probabilidad de sacar un }6 \mbox{y sacar un número par"}=$$$ $$$=\mbox{"probabilidad de sacar un }6"=\dfrac{1}{6}$$$

$$$P(A/B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{3}$$$

En particular, hemos comprobado que nuestros sucesos $$A$$ y $$B$$ son dependientes, ya que $$P(A/B)$$ es diferente de $$P(A)$$.

Haciendo una encuesta telefónica, hemos preguntado a $$1000$$ personas si creían necesario que hubiera más iluminación en la calle por la noche.

Nos han respondido $$480$$ hombres, de los cuales $$324$$ han respondido que sí, y $$156$$ que no, y $$520$$ mujeres, de las cuales $$351$$ han respondido que sí, y $$169$$ que no. Nos preguntamos si hombres y mujeres tienen una opinión diferente, o bien si es irrelevante para la cuestión.

Para ver más claramente lo que nos dicen, lo mejor es colocar los datos en una tabla:

  No
Hombres 324 156
Mujeres 351 169

Consideremos los sucesos $$A =$$"querer más luz (haber respondido sí)", $$B =$$"que haya respondido un hombre".

Nos preguntamos si $$A$$ y $$B$$ son independientes, es decir, si el hecho de querer más luz depende de si se es hombre o mujer.

Calculemos las probabilidades:

$$$P(A)=\dfrac{324+351}{1000}=\dfrac{675}{1000}$$$ por la regla de Laplace (son todos los que han respondido que sí, sumando hombres y mujeres).

$$$P(B)=\dfrac{480}{1000}$$$ los hombres que nos han respondido entre el total de llamadas.

$$$P(A\cap B)=\dfrac{324}{1000}$$$ los que son hombres y han respondido que sí.

Se cumple que $$$\dfrac{324}{1000}=\dfrac{675}{1000}\cdot \dfrac{480}{1000}$$$ es decir que $$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$$ por lo que los sucesos son independientes. En otras palabras, el hecho de ser hombre o mujer no ha influido para saber si quieren o no más luz.

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