Sucesos compatibles e incompatibles

Empecemos con el experimento siguiente: tiramos un dado de seis caras y vemos qué resultado sale. Consideremos los siguientes sucesos $$A = \{ 2, 3 \}$$, $$B = \{ 1 , 2 \}$$, $$C = \{ 5 \}$$.

Observamos que si sacamos un $$2$$, entonces se cumple tanto $$A$$ como $$B$$. Decimos que los sucesos son compatibles, esto quiere decir, que se pueden verificar simultáneamente. Por el contrario, los sucesos $$B$$ y $$C$$ son incompatibles, puesto que no se pueden dar los dos a la vez.

Para ver fácilmente cuándo dos sucesos son compatibles o no, podemos observar que $$A$$ y $$B$$ tienen un elemento común: el $$2$$, por lo que serán compatibles. Por el contrario, $$A$$ y $$C$$ no tienen ningún elemento en común, y por lo tanto son incompatibles.

Esto lo expresamos diciendo que dos sucesos $$A$$ y $$B$$ son incompatibles si $$$A \cap B \neq \emptyset$$$ y al contrario, que son compatibles si $$$A \cap B = \emptyset$$$

Si tenemos tres o más sucesos, decimos que son incompatibles dos a dos si cualquier pareja de sucesos es incompatible (análogamente, son compatibles dos a dos si cualquier pareja de sucesos es compatible). En nuestro caso, $$A, B$$ y $$C$$ no son incompatibles dos a dos, puesto que, aunque $$A$$ y $$C$$, $$B$$ y $$C$$ son incompatibles, $$A$$ y $$B$$ son compatibles.

¿Cómo se relaciona esto con los sucesos complementarios?

En nuestro experimento de tirar un dado, si tenemos nuestro suceso $$A = \{ 2, 3 \}$$, analicemos qué pasa con su complementario.

En este caso, $$\overline{A}=\{1,4,5,6\}$$, ya que son todos los sucesos elementales que no cumplen $$A$$.

Resulta pues que $$A$$ y $$\overline{A}$$ son incompatibles, puesto que no se pueden verificar a la vez. Y es que para cualquier suceso $$A$$ calculamos su complementario haciendo $$\overline{A}=\Omega - A$$, por lo que $$A \cap \overline{A}=\emptyset$$, es decir, dos sucesos complementarios siempre serán incompatibles.

Supongamos ahora que $$D=$$"sacar un número par"$$=\{ 2, 4, 6 \}$$. Su complementario es $$\overline{D}=$$"sacar un número impar"$$=\{ 1, 3, 5 \}$$. Entonces, $$D\cup \overline{D} = $$"sacar un número par o impar"$$= \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} = \Omega$$, es decir, es un suceso seguro.

Por cómo definimos un suceso complementario, esto siempre ocurrirá, ya que se cumple siempre uno de los dos, y como son incompatibles, o se cumple uno o se cumple el otro.

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