Un sistema de ecuaciones diferenciales lineal es una EDO (equación diferencial ordinaria) del tipo: $$$x'(t)=A(t)\cdot x+ b(t)$$$ donde, $$A(t)$$ es una matriz, $$n \times n$$, de funciones en la variable $$t$$, $$b (t)$$ s un vector de dimensión $$n$$ de funciones en la variable $$t$$, y $$x$$ es un vector de tamaño $$n$$ que es la función que queremos encontrar.
Un ejemplo de sistema de EDO's lineal sería: $$$\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}'= \begin{pmatrix} 0 & \ln t \\ -e^t & 3 \cos t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} e^t \\ 3e^t \end{pmatrix}$$$
Un sistema lineal de dimensión $$n$$ tiene $$n$$ soluciones linealmente independientes y resolver el sistema significa encontrarlas todas. Toda solución es una combinación lineal de estas $$n$$ soluciones. Así, dado un vector de condiciones iniciales ($$n$$), determinaremos las $$n$$ constantes encontrando una única solución.
Cuando resolvemos un sistema lineal colocaremos los $$n$$ vectores solución (linealmente independientes) en las columnas de una matriz, la llamada matriz fundamental del sistema ($$n \times n$$). Por lo tanto, entenderemos por resolver el sistema encontrar una matriz fundamental. Multiplicando esta matriz por un vector de constantes arbitrarias tendremos la solución general.
Una propiedad importante de las matrices fundamentales es que, si multiplicamos una matriz fundamental por una matriz constante con determinante distinto de cero, el resultado es otra matriz fundamental (es importante que la matriz constante se multiplique por la derecha, si no, no es cierto).
Para resolver este tipo de ecuaciones, no existen métodos explícitos (sólo en dimensión $$1$$). Aún así, existen algunos casos particulares que sí sabremos resolver: Sistemas de EDO's homogéneos a coeficientes constantes, Sistemas de EDO's a coeficientes constantes no homogéneos, y Sistemas triangulares de ecuaciones diferenciales.
En este tema vamos a explicar los Sistemas de EDO's homogéneos a coeficientes constantes.
Consideremos el problema: $$x'(t)=A \cdot x(t)$$. Entonces una matriz fundamental es: $$ \phi(t)=e^{tA}$$. Para hacer el cálculo de elevar $$e$$ a una matriz $$A$$ es útil tener esta matriz en forma de Jordan.
Por lo tanto, primero de todo calculemos la forma de Jordan de la matriz $$A$$. Entonces se tiene $$A=S\cdot J \cdot S^{-1}$$, donde $$J$$ es la forma reducida de Jordan de la matriz $$A$$ y $$S$$ es el cambio de base.
Entonces se cumple que $$e^A=e^{SJS^-1}=S \cdot e^J \cdot S^{-1}$$. Además, teniendo en cuenta que $$S^{-1}$$ es una matriz constante con determinante diferente de cero, si $$\phi(t)=e^{tA}=S\cdot e^{tJ} \cdot S^{-1}$$ es una matriz fundamental, entonces $$\phi(t)=S \cdot e^{tJ}$$ también es matriz fundamental.
Ahora explicaremos como se calcula la exponencial de una matriz en forma de Jordan.
Explicaremos hasta dimensión tres:
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Si $$J$$ es una matriz diagonal. Entonces $$$e^{tJ}=\begin{pmatrix} e^{\lambda_1t} & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2 t}\end{pmatrix}, e^{tJ}=\begin{pmatrix} e^{\lambda_1t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2 t} & 0 \\ 0 & 0 & e^{\lambda_3 t}\end{pmatrix} $$$para los casos de dimensión $$2$$ y $$3$$, donde $$\lambda$$ son los valores propios de la matriz. Es decir, la exponencial de una matriz diagonal es la matriz diagonal con la exponencial de los valores propios en la diagonal.
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Si $$J$$ es una matriz del tipo:$$$J=\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 1 & \lambda \end{pmatrix}$$$entonces$$$e^{tJ}=\begin{pmatrix} e^{\lambda t} &0 \\ t \cdot e^{\lambda t} & e^{\lambda t}\end{pmatrix} $$$
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Si $$J$$ es una matriz del tipo: $$$J=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda_3\end{pmatrix}$$$ entonces$$$e^{tJ}=\begin{pmatrix} e^{\lambda_1 t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2 t} & 0 \\ 0 & t\cdot e^{\lambda_2 t} & e^{\lambda_3 t} \end{pmatrix}$$$
- Si $$J$$ es una matriz del tipo : $$$J=\begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & 0 \\ 0 & 1 & \lambda \end{pmatrix}$$$entonces$$$e^{tJ}=\begin{pmatrix} e^{\lambda t} & 0 & 0\\ t\cdot e^{\lambda t} & e^{\lambda t} & 0 \\ \displaystyle \frac{t^2}{2}\cdot e^{\lambda t} & t \cdot e^{\lambda t} & e^{\lambda t} \end{pmatrix}$$$Por lo tanto, tenemos que la solución es: $$x(t)=\phi(t) \cdot C = S \cdot e^{tJ} \cdot C$$, donde $$C$$ es un vector de constantes a determinar con las condiciones iniciales. Si tenemos $$x(t_0)=x_0$$, vector de condiciones iniciales, entonces $$C=\phi(t_0)^{-1} \cdot x_0$$ y tenemos la solución del PVI (Problema de Valor Inicial).
Veámoslo de forma más clara con un ejemplo.
Consideremos el sistema: $$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}' =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$$ La matriz es a coeficientes constantes, por lo tanto, como ya hemos dicho, $$\phi(t)=e^{tA}$$ es una matriz fundamental.
Para calcular la exponencial de una matriz calcularemos su matriz de Jordan.
Para ello calculemos los valores propios de la matriz: $$$\left | \begin{matrix} -\lambda & 1 \\ -1 & 2-\lambda \end{matrix} \right |= -\lambda(2-\lambda)+1=0 \Leftrightarrow \lambda^2-2 \lambda +1 =0 \Rightarrow = \left\{ \begin {array}{rcl} \lambda_1 & = & 1 \\ \lambda_2 & = & 1\end{array} \right .$$$ Así pues tenemos un valor propio de multiplicidad $$2$$.
Para saber si diagonaliza debemos calcular el rango de la matriz $$$(A-\lambda \cdot Id) = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$$ que claramente es $$1$$.
Como las multiplicidades aritméticas y geométricas no coinciden, la matriz no diagonaliza.
Así pues, la forma de Jordan de la matriz será: $$$J=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$$ Busquemos ahora una base de vectores propios de la matriz.
Escogemos $$$v_2 \in \mbox{Ker} (A-\lambda\cdot Id ) \mbox{ y } v_1 \in \mbox{Ker}((A- \lambda \cdot Id)^2), v_1 \notin \mbox{Ker}(A-\lambda \cdot Id)$$$.
Escribamos, pues las matrices: $$$A-\lambda \cdot Id=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, (A-\lambda \cdot Id)^2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$$
Por lo tanto escogiendo $$v_1=(0,1)$$, está claro que $$v_1 \in \mbox{Ker}((A- \lambda \cdot Id)^2), v_1 \notin \mbox{Ker}(A-\lambda \cdot Id)$$.
Por $$v_2$$ tomamos $$v_2=(1,1)$$ ya que $$$\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix}$$$ y por lo tanto $$v_2 \in \mbox{Ker}(A-\lambda \cdot Id)$$.
De esta forma tenemos que la matriz de cambio de base es: $$$S=\begin{pmatrix}= 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$$As tal y como hemos explicado la exponencial de una forma de Jordan es: $$$e^{tJ}=\begin{pmatrix}e^t & 0 \\ t\cdot e^t & e^t \end{pmatrix}$$$
Por lo tanto una matriz fundamental será: $$$ \phi(t)=S\cdot e^{tJ}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}e^t & 0 \\ t\cdot e^t & e^t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \cdot e^t & e^t \\ e^t+t\cdot e^t & e^t \end{pmatrix}= e^t \begin{pmatrix} t & 0 \\ t+1 & 1 \end{pmatrix}$$$
Si, por ejemplo, nos piden la solución que satisface la condición inicial: $$$\begin{pmatrix} x(0) \\ y(0) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$$$ esta solución es: $$$\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}=\phi(t) \cdot \phi(t_0)^{-1} \cdot \begin{pmatrix} x(0) \\ y(0) \end{pmatrix}= e^t \begin{pmatrix} t & 0 \\ t+1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ 2 \end{pmatrix}=$$$ $$$= e^t \begin{pmatrix} t & 0 \\ t+1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}=e^t\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2e^t \\ 2e^t \end{pmatrix}$$$